来自 LBQ 的一道luo角不等式：三角形中 sinB/B+sinC/C>sinA/A

kuing

前两天 LBQ 在微信发来 mp.weixin.qq.com/s/dz7ftzxnZyNDhz0rQmZ6yw 里面第一题是：

在 `\triangle ABC` 中，证明不等式：
\[\frac{\sin B}B+\frac{\sin C}C>\frac{\sin A}A.\]

这两天没心思撸，刚才思考了一下发现可以加强，因为 `A>\sin A`，所以只需证明加强式
\[\frac{\sin B}B+\frac{\sin C}C>1,\quad(*)\]
令
\[f(x)=\frac{\sin x}x,\quad x\in(0,\pi),\]
求导易知 `f(x)` 递减，则由 `C<\pi-B` 得
\begin{align*}
f(B)+f(C)&>f(B)+f(\pi-B)\\
&=\frac{\sin B}B+\frac{\sin B}{\pi-B}\\
&=\frac{\pi\sin B}{B(\pi-B)},
\end{align*}
令
\[g(x)=\pi\sin x-x(\pi-x),\quad x\in(0,\pi),\]
则只需证明 `g(x)` 恒为正即可。

注意到 `g(x)=g(\pi-x)`，只需考虑 `x\in(0,\pi/2)` 的情形，求导得
\begin{align*}
g'(x)&=\pi\cos x-\pi+2x,\\
g''(x)&=-\pi\sin x+2,
\end{align*}
显然 `g''(x)` 在 `(0,\pi/2)` 存在唯一零点，记为 `x_0`，则当 `x\in(0,x_0)` 时 `g''(x)>0`，当 `x\in(x_0,\pi/2)` 时 `g''(x)<0`，所以 `g'(x)>\min\{g'(0),g'(\pi/2)\}=0`，因此 `g(x)` 在 `(0,\pi/2)` 递增，所以 `g(x)>g(0)=0`，即得证。