正弦无穷乘积之巴塞尔问题相关

isee

源自知乎提问

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这是第一个解决此问题的方式，具有开创性.

以下回答，仅仅是整理归纳我在知乎见到的讨论.


在现代来看是不严谨的，没有讨论正弦无穷乘积公式

\[\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2})\]

的敛散性，其严格证明 (这里将最后一个（核心）转录成文字)


解 1：在 \[\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2})\] 中令 $y=\frac{x^2}{\pi^2}$ ，然后讨论函数 \[F(y)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac y{n^2}\right).\tag{*}\] 这时由于 $F(y)=1-\frac{y\pi^2}6+\mathcal O(y^2)$ ，因此只需要从 $(*)$ 右边的超无穷乘积出发证明函数 F 在 y=0 处的导数 $\displaystyle F'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$ 即可.

对函数 $F$ 在 $|y|<1$ 范围内取对数，并求导得到 \[\frac{F'(y)}{F(x)}=-\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-\frac1{n^2}}{1-\frac y{n^2}}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2-y},\] 其中右边逐项求导的合理性易从 Weierstrass 一致收敛判别法得到验证，同时这也保证了 $F$ 的可微性.

然后令 $y=0$ 代入，利用 $F(0)=1$ ，可见所求结果成立. 因此有

\[F(y)=1-y\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\right)+o(y)\,(y\to 0),\] 这样就有\[\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=1-\frac{x^2}{\pi^2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}\right)+o(x^2)\,(x\to 0),\\
\] 因此 Euler 的方法是正确的.

hbghlyj

请问，下面这个帖子也是“比较系数”证明，能否用类似的方法严格化？

hbghlyj 发表于 2024-3-26 11:58
（韦达定理）多项式$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$的根的倒数和为$-\dfrac{a_1}{a_0}$

但是这个只限于多项式啊 ...

hbghlyj

isee 发表于 2024-3-27 05:59
只需要从 $(*)$ 右边的超无穷乘积出发

这处，您多转录了一个字符“超”，而原文中并没有这个字符。

hbghlyj

isee 发表于 2024-3-27 05:59
其中右边逐项求导的合理性易从 Weierstrass 一致收敛判别法得到验证，同时这也保证了 $F$ 的可微性.

我弱弱的问一句。。。没完全理解这句话。。能详细解释一下吗？