柯西方程(不假设连续性) 假设在某个区间上有下界

hbghlyj

Functional Equations and How To Solve Them - Christopher G. Small

在第2章的第1节中，关于柯西方程 $f(x+y) = f(x)+f(y)$ 有一个定理如下：

定理2.4
设 $f : \Bbb R → \Bbb R$ 满足柯西方程。此外，假设存在某个实数区间 $[c,d]$，其中 $c<d$，使得 $f$ 在 $[c,d]$ 上有下界。换句话说，存在一个实数 $A$ 使得对于所有 $c ≤ x ≤ d$，$f(x) ≥ A$。那么存在一个实数 $a$ 使得对于所有实数 $x$，$f(x) = ax$。

这里不假设连续性。
在练习中，第2题引导你完成这个定理的证明。然而，这个问题要求读者填写定理2.4的证明细节。

设 $f :\Bbb R → \Bbb R$ 是一个满足柯西方程的连续函数。此外，假设存在某个实数区间 $[c, d]$，其中 $c<d$，使得 $f$ 在 $[c, d]$ 上有下界。
a) 证明对于所有实数 $x$，$f(nx) = nf(x)$。
b) 定义 $p = d − c$。证明 $f$ 在区间 $[0, p]$ 上有下界。（然而，它不需要在区间 $[c, d]$ 上有相同的下界。）
c) ...

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-20 16:32
这个问题要求读者填写定理2.4的证明细节。

我尝试做一下：a）很明显，b）假设 $ f  $ 在 $ [ c , d ] $ 上有下界 $ A $. 对于 $ p = d - c $ 和任意 $ x \in \mathbb R $ 有：
$$ \begin {align*}
& & & 0 \le x \le p \\
\implies & & & c \le x + c \le d \\
\implies & & & f ( x + c ) \ge A \\
\implies & & & f ( x ) + f ( c ) \ge A \\
\implies & & & f ( x ) \ge A - f ( c )
\end {align*} $$
因此，$ f $ 在 $ [ 0 , p ] $ 上有下界 $ A - f ( c ) $.

hbghlyj

以下是问题的其余部分：

c) Define the function
$$
g(x)=f(x)-\frac{f(p)}{p} x
$$
Prove that $g$ is also bounded below on the interval $[0, p]$ and satisfies Cauchy's equation.
d) Show that $g$ is periodic with period $p$ in the sense that $g(x+p)=g(x)$ for all real $x$. Conclude from this, and the fact that $g$ is bounded below on the interval $[0, p]$ that $g$ is bounded below on the entire real line $(-\infty,+\infty)$
e) Suppose that there exists some $x_0$ for which $g\left(x_0\right) \neq 0$. Prove a contradiction, by showing that the sequence of values $g\left(n x_0\right), n=$ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ is not bounded below.
f) Conclude that $g(x)=0$ for all real $x$, and therefore that $f(x)=a x$ for all real $x$, where $a=f(p) / p$.

要求读者填写证明细节

hbghlyj

c) $\forall x\in[0,p],g(x)=f(x)-\frac{f(p)}{p} x\ge f(x)-\frac{f(p)}{p} p$，而 $ f $ 在 $ [ 0 , p ] $ 上有下界，因此 $ g $ 在 $ [ 0 , p ] $ 上有下界.
$g(x+y)=f(x+y)-\frac{f(p)}{p}(x+y)=f(x)-\frac{f(p)}{p}x+f(y)-\frac{f(p)}{p}y=g(x)+g(y)$，因此 $ g $ 满足柯西方程.

d) $g(p)=0\implies g(x+p)=g(x)+g(p)=g(x)\implies g$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上有下界.

e) $g(x_0)\ne0\implies g(n x_0)=ng(x_0)$ 是无界的，与d)矛盾.

f) $g(x)=0\implies f(x)=\frac{f(p)}{p}x\;\forall x\inR.$😀