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战巡
发表于 2014-5-5 00:33
回复 1# 等待hxh
\[x[f(y)-f(x^2+y^2)]=y[f(x^2+y^2)-f(x)]\]
其中$x,y$都是正整数，两边要同号，说明$Min\{f(x),f(y)\}\le f(x^2+y^2) \le Max\{f(x),f(y)\}$
首先我们可以证明，$\abs{f(x)-f(y)}\ne 1$，否则由于$f(x^2+y^2)$也是正整数，有要有$Min\{f(x),f(y)\}\le f(x^2+y^2) \le Max\{f(x),f(y)\}$，只能是$f(x^2+y^2)=f(x)$或$f(x^2+y^2)=f(y)$，这将导致上面的等式一边为0一边不为0，肯定不对，因此不行
不妨假设$f(y)-f(x)=k>1$（反过来设$f(x)>f(y)$也行，反正一样，这里就只考虑其中一种了）
那么有$f(x)<f(x^2+y^2)\le f(y)-1<f(y)$，令$x^2+y^2=y_1$，又有$f(x)<f(x^2+y_1^2)\le f(y_1)-1< f(y)-1$，如此往复经过$k$步以后，最终得到$f(x)<f(x^2+y_k^2)<f(y)-k=f(x)$，这显然是不行的，因此也不可能
唯一只能是$f(x)=f(y)$对任意正整数$x,y$成立，但$f(x)=c$的这个常数却可以取任意正整数 |
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，我也不会，