Tan函数方程

hbghlyj

$$
f(x+y+z)=\frac{f(x)+f(y)+f(z)-f(x) f(y) f(z)}{1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x)}
$$
如果 $f$ 是可导函数，对所有 $x,y,z$ 都满足此方程则 $f(x)=\tan(cx)$

hbghlyj

如果一个可微函数 $f$ 满足 $f(x+y+z)=\frac{f(x)+f(y)+f(z)-f(x) f(y) f(z)}{1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x)} $，那么 $f(x)=\tan (c x)$，其中 $c$ 是任意实常数。

设 $u=x+y+z$
那么函数方程变为
$$
f(u)=\frac{f(x)+f(y)+f(z)-f(x) f(y) f(z)}{1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x)}
$$
$$
\begin{align*}
& f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}= \\
& {\left[\frac{\partial}{\partial x}(f(x)+f(y)+f(z)-f(x) f(y) f(z))(1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x))\right.} \\
& \left.-(f(x)+f(y)+f(z)-f(x) f(y) f(z))\left(-\frac{\partial}{\partial x}(f(x) f(y)+f(y) f(z)+f(z) f(x))\right) \right]\\
&  \cdot \frac{1}{(1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x))^{2}}
\end{align*}
$$
现在，注意到
$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y+z)=1
$$
$$
\begin{aligned}
& f'(u)=\frac{f'(x)+f'(x) f^{2}(y) f^{2}(z)+f'(x) f^{2}(y)+f'(x) f^{2}(z)}{(1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x))^{2}} \\
& =\frac{f'(x)\left(1+f^{2}(y) f^{2}(z)+f^{2}(y)+f^{2}(z)\right)}{(1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x))^{2}}
\end{aligned}
$$
$$
f'(u)=\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{f'(y)\left(1+f^{2}(x) f^{2}(z)+f^{2}(x)+f^{2}(z)\right)}{(1-f(x) f(y)-f(y) f(z)-f(z) f(x))^{2}}
$$
$$
f'(x)\left(1+f^{2}(y)\right)\left(1+f^{2}(z)\right)=f'(y)\left(1+f^{2}(x)\right)\left(1+f^{2}(z)\right)
$$

这个方程可以分离为
$$
\frac{f'(x)}{\left(1+f^{2}(x)\right)}=\frac{f'(y)}{\left(1+f^{2}(y)\right)} .
$$
因为 $\left(1+f^{2}(x)\right) \neq 0$ 对于任何 $x$，同样适用于 $y$ 和 $z$ 的类似项。
$$
\frac{f'(x)}{1+f^{2}(x)}=c
$$
设 $v=f(x),\int \frac{d v}{1+v^{2}}=\int c$ 得 $\tan ^{-1} v=c x+d$ 其中 $d$ 是任意常数。
$$
\begin{aligned}
\text { 因此 } v & =\tan (c x+d) \\
f(x) & =\tan (c x+d)
\end{aligned}
$$
在提出的函数方程中代入 $x=y=z=0$：
$$
f(0)\left[1+(f(0))^{2}\right]=0
$$
这意味着 $f(0)=0$

使用这个初始条件，我们有 $\tan (d)=0$ 其中 $d=n \pi$ 对于任意整数 $n$。由于 $f(x)=\tan (c x+d)$，
$$
f(x)=\tan (c x) .
$$
这完成了证明。

参考文献
[1] Aczél, J.: On applications and theory of functional equations, Elsevier, 1969.
[2] Aczél, J. and Dhombres, J.: Functional equations in several variables, Cambridge Univ. Press, 1989.
[3] Castillo, E., Gutiérrez, J.M. and Iglesias, A. : Solving a functional equation, Mathematica J. 5,, 82-86, 1995.B.Y.: A simple characterization of generalized Robertason-Walker spacetimes, Gen. Rel. Grav. 46 (2014), 1833 (5 pp.).
[4] Efthimiou, C.: Introduction to functional equations, AMS, 2011.
[5] Small, C. G.: Functional equations and how to solve them, Springer Science and Business Media, Apr. 3, 2007, Mathematics, 131 pages,.

lemondian

反过来：如果$f(x)=\tan(cx)$，其中$c$是任意实常数，那么还有这个等式吗？