如何用中学生的方法求一个极值

TSC999

上面截图是一个关于 \(x\) 的一元函数在 (0, 1) 区间上最小值问题。
用软件 mathematica 很容易求出。除了上面的方法外，直接用 NMinimize 指令也可以。
现在的问题是，如何用中学生的方法求这个极值？注：极小值是 \(\sqrt{17}\)

kuing

第二个根号写成 $ 2\sqrt{(x-1/4)^2+3/16} $ 就知道了

hbghlyj

$\sqrt{(\sqrt{3}-x)^2+1}+\sqrt{(x-\frac14)^2+(\frac{\sqrt3}{4})^2}\ge\sqrt{(\sqrt3-\frac14)^2+(1+\frac{\sqrt3}{4})^2}=\frac{\sqrt{17}}2$

TSC999

上面依据的是三角不等式：

hbghlyj

TSC999 发表于 2024-10-28 03:24
上面依据的是三角不等式：
三角不等式 $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geqslant \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$, 仅当 $a / c=b / d$ 或 $a d=b c$ 时等号成立。

补充一下，这是Minkowski不等式的 p=2 情况：
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ 为非负实数。
设 $p$ 为非零实数。(如果 $p < 0$，则要求 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ 为正数。)
如果 $p > 1$，则有：
$$\left(\sum_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}$$
如果 $p < 1$，且 $p \ne 0$，则有：
$$\left(\sum_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \ge \left(\sum_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} + \left(\sum_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}$$

hbghlyj

\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \left(a_k + b_k\right)^2
& = \sum_{k = 1}^n \left(a_k^2 + 2 a_k b_k + b_k^2\right)\\
& = \sum_{k = 1}^n a_k^2 + 2 \sum_{k = 1}^n a_k b_k + \sum_{k = 1}^n b_k^2\\
^\text{Cauchy}&\le \sum_{k = 1}^n a_k^2 + 2 \left(\sum_{k = 1}^n a_k^2\right)^{1 / 2} \left(\sum_{k = 1}^n b_k^2\right)^{1 / 2} + \sum_{k = 1}^n b_k^2\\
&= \left(\left(\sum_{k = 1}^n a_k^2\right)^{1 / 2} + \left(\sum_{k = 1}^n b_k^2\right)^{1 / 2} \right)^2
\end{align*}

hbghlyj

Define:
$$q = \dfrac p {p - 1}$$
Then:
$$\dfrac 1 p + \dfrac 1 q = \dfrac 1 p + \dfrac {p - 1} p = 1$$
It follows that:
\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p
&=\sum_{k = 1}^n a_k \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} + \sum_{k = 1}^n b_k \left( a_k + b_k \right)^{p - 1}
\\^\text{Hölder}&\le\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} \right)^q \right)^{1 / q} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} \right)^q \right)^{1 / q}
\\&=\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\&=\left( \left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \right) \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\&\text{dividing by } \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\\left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 - 1 / q}&\le\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p}\\
\left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / p}&\le\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p}
\end{align*}

hbghlyj

在这种情况下，p 和 q 符号相反，因此Hölder不等式反向。其余部分与 p>1 的情况相同。
\begin{align*}
\sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p
&=\sum_{k = 1}^n a_k \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} + \sum_{k = 1}^n b_k \left( a_k + b_k \right)^{p - 1}
\\^\text{Hölder}&\ge\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} \right)^q \right)^{1 / q} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( \left( a_k + b_k \right)^{p - 1} \right)^q \right)^{1 / q}
\\&=\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\&=\left( \left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p} \right) \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\&\text{dividing by } \left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / q}
\\\left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 - 1 / q}&\ge\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p}\\
\left( \sum_{k = 1}^n \left( a_k + b_k \right)^p \right)^{1 / p}&\ge\left( \sum_{k = 1}^n {a_k}^p \right)^{1 / p} + \left( \sum_{k = 1}^n {b_k}^p \right)^{1 / p}
\end{align*}

kuing

hbghlyj 发表于 2024-10-28 17:43
Define:
$$q = \dfrac p {p - 1}$$
Then:

我在[科普]发个旧资料《梳理一些常用不等式》里就写过了

hbghlyj

Minkowski不等式的 p=∞ 情况：
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ 为非负实数。
$$\lim_{p\to\infty}\left(\sum_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \le \lim_{p\to\infty}\left(\sum_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} +\lim_{p\to\infty} \left(\sum_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}$$证明：
根据最大值的定义，$$a_k + b_k \le \max_{1\le k\le n}(a_k) + \max_{1\le k\le n}(b_k)$$取 $k$ 的最大值，$$\max_{1\le k\le n}(a_k + b_k) \le \max_{1\le k\le n}(a_k) + \max_{1\le k\le n}(b_k)$$这是最简单的情况

hbghlyj

Minkowski不等式的 p=−∞ 情况：
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ 为正数。
$$\lim_{p\to-\infty}\left(\sum_{k = 1}^n (a_k + b_k)^p\right)^{1/p} \ge \lim_{p\to-\infty}\left(\sum_{k = 1}^n a_k^p\right)^{1/p} +\lim_{p\to-\infty} \left(\sum_{k = 1}^n b_k^p\right)^{1/p}$$证明：
根据最小值的定义，$$a_k + b_k \ge \min_{1\le k\le n}(a_k) + \min_{1\le k\le n}(b_k)$$取 $k$ 的最小值，$$\min_{1\le k\le n}(a_k + b_k) \ge \min_{1\le k\le n}(a_k) + \min_{1\le k\le n}(b_k)$$很簡單的

hbghlyj

regularize.wordpress.com/2018/05/24/building-norms-from-increasi ... -the-luxemburg-norm/
设函数 $\phi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 满足 $\phi(0)=0$，$\phi$ 是递增且凸的。然后我们定义 $\phi$ 的卢森堡范数为
\[\|x\|_{\phi} := \inf\left\{\lambda>0\ :\ \sum_{k}\phi\left(\frac{|x_{k}|}{\lambda}\right)\leq 1\right\}\]
三角不等式 \(\|x\|_\phi+\|y\|_\phi \geq \|x+y\|_{\phi}\)
证明：
设 \(c = \|x\|_{\phi}\) 和 \(d = \|y\|_{\phi}\)（这意味着 \(\sum_{k}\phi\left(\tfrac{|x_{k}|}{c}\right)\leq 1\) 和 \(\sum_{k}\phi\left(\tfrac{|y_{k}|}{d}\right)\leq 1\)）
\begin{eqnarray} \sum_{k}\phi\left(\tfrac{|x_{k}+y_{k}|}{c+d}\right) &\leq& \sum_{k}\phi\left(\tfrac{c}{c+d}\tfrac{|x_{k}|}{c} +\tfrac{d}{c+d}\tfrac{|y_{k}|}{d}\right)\quad\\ &\leq& \tfrac{c}{c+d}\underbrace{\sum_{k} \phi\left(\tfrac{|x_{k}|}{c}\right)}_{\leq 1} + \tfrac{d}{c+d}\underbrace{\sum_{k}\phi\left(\tfrac{|y_{k}|}{d}\right)}_{\leq 1}\\ &\leq& 1 \end{eqnarray}故 \(c+d \in\left\{\lambda>0\ :\ \sum_{k}\phi\left(\frac{|x_{k}+y_k|}{\lambda}\right)\leq 1\right\}\).
即 \(c+d \geq \|x+y\|_{\phi}\).

解释：
(1) 因為 $|x_k+y_k|\le|x_k|+|y_k|$.
(2) 因為 $\phi$ 是凸的。
(3) 因為 $c=\|x\|_{\phi}$ 的定義，$\sum_{k} \phi\left(\tfrac{|x_{k}|}{c}\right)\le1$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-28 15:53
然后我们定义 $\phi$ 的卢森堡范数为\[\|x\|_{\phi} := \inf\left\{\lambda>0\ :\ \sum_{k}\phi\left(\frac{|x_{k}|}{\lambda}\right)\leq 1\right\}\]证明三角不等式 \(\|x\|_\phi+\|y\|_\phi \geq \|x+y\|_{\phi}\)：

$\phi(t) = t^{p}$
$x$ 的卢森堡范数为$\|x\|_{\phi} = \inf\left\{\lambda>0\ :\ \sum_{k}|x_{k}|^p\leq \lambda^p\right\}= \left(\sum_{k}|x_{k}|^p\right)^{1/p}$
由这个证明就得到 Minkowski 不等式（$\phi(t)=t^p$ 的凸性依賴于條件 $p>1$）。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-28 15:53
然后我们定义 $\phi$ 的卢森堡范数为\[\|x\|_{\phi} := \inf\left\{\lambda>0\ :\ \sum_{k}\phi\left(\frac{|x_{k}|}{\lambda}\right)\leq 1\right\}\]证明三角不等式 \(\|x\|_\phi+\|y\|_\phi \geq \|x+y\|_{\phi}\)：

其它例子：
$\phi(t) =\exp(t)-1$
$x$ 的卢森堡范数为 $\sum_{k}\exp\left(|x_k|\over\lambda\right)= n+1$ 的根。

二維的等高線： $\{x\inR^2\ :\ \|x\|_\phi=0.5,1,2,3\}$