皮亚诺曲线第 n 次迭代的长度为 $9^n-1$

hbghlyj

Wolfram 文档说皮亚诺曲线第 n 次迭代的长度为 $9^n-1$，如何证明这个公式？

1. Table[ArcLength[PeanoCurve[n]], {n, 4}]

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$\{8,80,728,6560\}$

kuing

看起来就是，下一个图，是上一个图重复 9 次，相邻的方向相反，然后连接起来，所以就是 f(n+1)=9f(n)+8，而 f(1)=8，即得 f(n)=9^n-1。

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-29 08:43
下一个图，是上一个图重复 9 次，

如何从 L-system 定义证明“重复 9 次”？
例如在 kevs3d.co.uk/dev/lsystems/ 中可以输入 L-system 定义
"Constants: XY, Axoim: X, Rule1: X=XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX, Rule2: Y=YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY"
以获得任意迭代深度的皮亚诺曲线。

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-29 08:58
如何从 L-system 定义证明“重复 9 次”？

是因为“X”和“Y”在两个规则中都出现了九次吗？
Rule1: $X\to$XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Rule2: $Y\to$YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-29 08:43
f(n+1)=9f(n)+8

每次都要加 8 是因为“F”在两个规则中都出现了 8 次？
Rule1: $X\to$XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Rule2: $Y\to$YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-29 08:43
下一个图，是上一个图重复 9 次，相邻的方向相反，然后连接起来

可以使用类似的方法来求希尔伯特曲线的弧长吗？Mathematica 的输出是 $4^n-1$
A → +BF−AFA−FB+
B → −AF+BFB+FA−
f(n+1)=4f(n)+3

kuing

XYF+- 分别代表啥？

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-29 09:10
F

澄清一个区别：上面假设每个步骤“F”的长度都是相同的1。但是常用的“希尔伯特曲线”定义要求将曲线放入单位正方形，因此需要缩小2^n倍，所以整个曲线长度是2^n-1/2^n。

kuing

XY 或者 AB 只是一个记号，F 是向前，+ 和 - 是旋转？我好像有点看懂了

hbghlyj

kuing 发表于 2024-10-29 08:43
下一个图，是上一个图重复 9 次，相邻的方向相反，然后连接起来

可以使用类似的方法来求 Sierpiński 曲线的弧长吗？Mathematica 的输出是 $\frac{128}{3} \left(\left(\sqrt{2}+1\right) 2^{2 n+1}+\sqrt{2}-2\right)$
Alphabet: F, G, X
Constants: F, G, +, −
Axiom: F−−XF−−F−−XF
Production rules:
X → XF+G+XF−−F−−XF+G+X
Angle: 45

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-29 09:17
Angle: 45

这次角度不是 90 度，比较复杂，怎么办