$y^2+1=2 x^4$的正整数解为 $(1,1),(239,13)$

hbghlyj

如何证明 $y^2+1=2 x^4$的正整数解为 $(1,1),(239,13)$

people.math.wisc.edu/~ellenberg/MCAV.pdf
Another interesting case arises from the elliptic curve
\[
y^2+1=2 x^4
\]
whose integral points are related to the problem of expressing $\pi$ as a sum of rational arctangents [26,§A.12] In particular, the point $(13,239)$ corresponds to Machin's formula
\[
\pi / 4=4 \arctan (1 / 5)-\arctan (1 / 239)
\]

有很大的解$(239,13)$是因为存在一个weight-2 cuspform in level 1024 whose mod-5 Galois representation is reducible

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-17 16:22
如何证明 $y^2+1=2 x^4$的正整数解为 $(1,1),(239,13)$

1942年的Ljunggren的原证明很复杂

这里有一个最新的初等证明：An Elementary Proof for Ljunggren Equation (2017)

这里也有一个原证明的简化证明：Simplifying the Solution of Ljunggren's Equation (1991)

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-12-17 16:23
这里有一个最新的初等证明：An Elementary Proof for Ljunggren Equation (2017)

在论文中，第 2 页底部声称，如果 $(c,b,13k)$ 是勾股数组，则 $b/c$ 要么是 $5/12$，要么是 $12/5$。为什么