求一个有限制条件的分式的最小值

lemondian

对任意满足$1\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 4$的实数$x,y,z$，记$f=\dfrac{(1+x)(x+y)(y+z)(z+4)}{xyz}$，求$f$的最小值。

老司機

$f=\dfrac{(1+x)(x+y)(y+z)(z+4)}{xyz}$
$ \geqslant \dfrac{(\sqrt[4]{1*x*y*z}+\sqrt[4]{x*y*z*4})^4}{xyz}$
$= (1+\sqrt[4]{4})^4 $  

老司機

lemondian 点评
请问：分子如何来的？没看懂哩

lemondian

老司機 发表于 2025-7-2 21:46

我用两次柯西+均值；或者用三次柯西做出来了，不过没有用Carlson 不等式或者郝尔德不等式简单

kuing

lemondian 点评
是不太会用这个Carlson 不等式，很少用哩
另外：郝尔德不等式与Carlson 不等式有什么联系与区别呢？

forum.php?mod=viewthread&tid=4096 第3节

记忆方法：forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … =41616&ptid=8290

isee

知乎也有这个问题.

依提问者思路，可以形式上写为相对比较清晰的
\begin{align*}
f&=\frac{(1+x)(x+y)(y+z)(z+4)}{xyz}\\
&=\left(1+x\right)\left(1+\frac yx\right)\left(1+\frac zy\right)\left(1+\frac4z\right)\\
&\geqslant \left(1+\sqrt[4]{x\cdot \frac yx\cdot \frac zy\cdot\frac 4z}\right)^4\\
&=\left(1+\sqrt 2\right)^4,
\end{align*}
当且仅当 $x=\frac{y}{x}=\frac{z}{y}=\frac{4}{z}$ 即 $x=2^{\frac12}$ ， $y=2$ ， $z=2^{\frac32}$ 时取得等号.

其妙

昨天9点钟，不等式研究欣赏群里的褚小光老师的证明：
由赫尔德不等式得
\[
f(x, y, z)=\frac{(1+x)(x+y)(y+z)(z+4)}{x y z} \geq \frac{(\sqrt[4]{x y z}+\sqrt[4]{4 x y z})^4}{x y z}=(1+\sqrt{2})^4
\]
当 $x=\sqrt{2}, y=2, z=2 \sqrt{2}$ 时 $f(x, y, z)$ 的最小值为 $(1+\sqrt{2})^4$

其妙

不等式研究欣赏QQ群（群号为305078297）里的刘海嵘老师的证明：
\begin{aligned}
& (y+z)(z+4) \geqslant z(\sqrt{y}+2)^2 \\
& (1+x)(x+y) \geqslant x(1+\sqrt{y})^2 \\
& \Rightarrow f(x, y, z) \geqslant \frac{(y+3 \sqrt{y}+2)^2}{y} \geqslant(3+2 \sqrt{2})^2=(1+\sqrt{2})^4
\end{aligned}

isee

其妙 发表于 2025-7-6 15:46
不等式研究欣赏QQ群（群号为305078297）里的刘海嵘老师的证明：
\begin{aligned}
& (y+z)(z+4) \geqslant z ...

这又是从哪儿来的题？

kuing

就一道简单小题，突然就成热门题了吗，啥情况？