为什么不能通过三等分角作出 $\sqrt[3]2$？

hbghlyj

$\sqrt[3]{2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的不可约三次多项式 $x^3 - 2$ 的根。因此，域扩张度数 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$ 不是 2 的幂，尺规不能倍立方。接下来，cos20° 是 $\mathbb{Q}$ 上的不可约三次多项式 $8y^3 - 6y - 1 = 0$ 的根，它定义的域扩张次数也是 3。因为 3 不是 2 的幂，所以 $60^\circ$ 不能用尺规三等分。

构造 $\sqrt[3]{2}$（倍立方问题）和三等分任意角都归结为解三次方程，但为何“三等分角”的能力无法作出 $\sqrt[3]{2}$

假设我们有了一个特殊的工具“三等分角器”。这等价于我们获得了解形如 $4y^3 - 3y - k = 0$ 方程的能力（其中 $k$ 是一个尺规可作的长度）。

现在的问题是：这个能力是否能帮助我们解出 $x^3 - 2 = 0$？

hbghlyj

$\sqrt[3]{2}$ 是 $\mathbb{Q}$ 上不可约多项式 $x^3 - 2 = 0$ 的一个根。因此，包含 $\sqrt[3]{2}$ 的最小域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 相对于 $\mathbb{Q}$ 的次数为 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) : \mathbb{Q}] = 3$。

该方程 $x^3 - 2 = 0$ 可以写作 $x^3 + px + q = 0$，其中 $p=0$，$q=-2$。判别式为 $\Delta = -4p^3 - 27q^2$。代入 $p=0$ 和 $q=-2$，我们得到 $\Delta = -4(0)^3 - 27(-2)^2 = -108$。由于判别式 $\Delta = -108 < 0$，该方程有一个实根（即 $\sqrt[3]{2}$）和两个共轭复根。因为判别式 $-108$ 在 $\mathbb{Q}$ 中不是一个完全平方数，所以该方程的Galois群是 $S_3$，并且域扩张 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 本身不是一个Galois扩张。其正规闭包需要添加 $\sqrt{\Delta} = \sqrt{-108} = 6\sqrt{-3}$。

现在，我们分析允许使用三等分角工具后，可以构造哪些新的数。三等分任意角 $\theta$ 等价于求解一个特定的三次方程。
根据 $\cos(3\phi) = 4\cos^3\phi - 3\cos\phi$。
假设我们能构造一个长度为 $c = \cos(3\phi)$ 的线段，其中 $c$ 属于我们已有的数域 $K$。那么，三等分角就意味着要解出 $x = \cos\phi$。这需要解方程：
$4x^3 - 3x - c = 0$。将其首项系数化为1，得到 $x^3 - \frac{3}{4}x - \frac{c}{4} = 0$。这里的 $p = -3/4$，$q = -c/4$。判别式为 $\Delta = -4p^3 - 27q^2 = -4(-\frac{3}{4})^3 - 27(-\frac{c}{4})^2 = \frac{108}{64} - \frac{27c^2}{16} = \frac{27}{16}(1-c^2)$。因为三等分角操作是在几何上真实的角度上进行的，所以 $|\cos(3\phi)| = |c| \le 1$。这意味着 $1-c^2 \ge 0$，所以判别式 $\Delta = \frac{27}{16}(1-c^2) \ge 0$。一个非负的判别式意味着这个方程有三个实数根。如果此方程在 $K$ 上不可约，由于其有三个实根，其分裂域也是全实的。

hbghlyj

通过对比两种操作所对应的方程，我们可以清楚地看到它们之间的区别。

特性	倍立方 ($x^3 - 2 = 0$)	三等分角 ($4x^3 - 3x - c = 0$)
判别式	$\Delta = -108 < 0$	$\Delta = \frac{27}{16}(1-c^2) \ge 0$
实根数	1个实根	3个实根

通过三等分角操作所引入的任何度数为3的扩张，都源于一个具有三个实根的三次方程。而“倍立方”问题所对应的方程 $x^3 - 2 = 0$ 只有一个实根。

我们从有理数域 $\mathbb{Q}$ 出发，通过一系列的二次扩张（尺规作图）和由三等分角带来的特殊三次扩张来构建数域。所有这些操作都停留在实数域内。然而，要构造 $\sqrt[3]{2}$，就必须求解一个其正规闭包包含复数 $\sqrt{-3}$ 的方程。这是仅通过三等分角无法实现的。

因此，即使我们拥有了三等分角的能力，倍立方问题依然是无解的。