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本帖最后由 hbghlyj 于 2024-4-25 21:53 编辑 zhihu.com/question/30015535
令 $\omega$ 为 $\omega^3=1$ 中幅角最小的解.
$\omega= e^{2\pi i /3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
那么有如下三次方程的伪根解:
\[ \begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^1 & \omega^2 & \omega^3\\
\omega^2 & \omega^4 & \omega^6\\
\omega^3 & \omega^6 & \omega^9\\
\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \zeta_2\\
\zeta_1\\
\zeta_0 \end{bmatrix}= \frac{1}{3} \begin{bmatrix} \omega &\omega^2&1\\
\omega^2 &\omega&1\\
1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \zeta_2\\
\zeta_1\\
\zeta_0 \end{bmatrix} \]
$\zeta_k$ 被称为原方程的伪根, 有如下关系式成立:
\[ \begin{cases} \zeta_0&=\sigma_1\\
\zeta_1^3 + \zeta_2^3 &= 9 \sigma _2 \sigma _1-2 \sigma _1^3-27 \sigma _3\\
\zeta_1^3\times\zeta_2^3 &= \left(\sigma _1^2-3 \sigma _2\right){}^3\\
\end{cases} \]
$\sigma_k$ 体现了根的对称性, 由韦达定理给出:
\[ \begin{cases} \sigma_1=x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} \\
\sigma_2=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=\dfrac{c}{a} \\
\sigma_3=x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} \\
\end{cases} \]
例如 x¹¹ = 1。
乘法模群 $ (\mathbb {Z} /11\mathbb {Z} )^{\times } = C_{10}$
$x^{11}=1$ 除了 1 以外的十个根应该形如
$ \sqrt{\cdots},\sqrt{\cdots}, \sqrt[5]{\cdots},\sqrt{\cdots}$
考虑
$ \sum_{k=1}^5\left(10\cos\frac{2 k π i}{11}+1\right)=0 $
等价于解方程 $\frac{x^5}{11}=10x^3+5x^2-210x-89=0$
方程的五个根 $x_i$ 能由预解式的四个伪根 $ζ_i$ 给出
$ζ_i$ 满足对称多项式
$ζ^4+89⋅11ζ^3+351⋅11^3ζ^2+89⋅11^6ζ+11^{10}=0 $
不妨设
\[ \begin{aligned} ω&= e^{2πi/5}\\
ω^n&=ω^{n\bmod 5} \end{aligned} \]
那么伪根能被系数表达为
\[ \begin{bmatrix} ζ_1\\
ζ_2\\
ζ_3\\
ζ_4\\
\end{bmatrix}= 11\begin{bmatrix} 1 & ω & ω^4 & ω^2 \\
1 & ω^2 & ω^3 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & ω \\
1 & ω^4 & ω & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} -6\\
35\\
10\\
20\\
\end{bmatrix} \]
根能被伪根表达为
\[ \begin{bmatrix} x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
x_5\\
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ω^4 & ω & ω^4 & ω \\
ω & 1 & 1 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & 1 \\
ω^3 & ω^4 & ω & ω^2 \\
ω^2 & ω^2 & ω^3 & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} \sqrt[5]{ζ_1} \\
\sqrt[5]{ζ_2} \\
\sqrt[5]{ζ_3} \\
\sqrt[5]{ζ_4} \\
\end{bmatrix} \]
这里矩阵的系数是穷举出来的
虽然看上去是个轮换但是其实无法从伽罗瓦理论推导得到
属于是玄学, 我算了好多种情况, 看上去是混沌的, 完全没道理
综上所述
$e^{2k\pi/11} = \cos\left(\frac{2kπ}{11}\right) +\sqrt{\cos ^2\left(\frac{2kπ}{11}\right)-1}$
$ \begin{aligned} \cos\left(\frac{2kπ}{11}\right) = \frac{1}{10}\left(x_k-1\right) \end{aligned} $
$ ω^k = \cos\left(\frac{2kπ}{5}\right) +\sqrt{\cos ^2\left(\frac{2kπ}{5}\right)-1} $
\[ \begin{aligned} ω^0 &= 1 \\
ω^1 &=+\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) \\
ω^2 &=-\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+1-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) \\
ω^3 &=-\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}+1+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) \\
ω^4 &=+\frac{1}{4} \left(\sqrt{5}-1-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) \\
\end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} ζ_1&=-\frac{11}{4} \left(89-25 \sqrt{5}-5 i \sqrt{410+178 \sqrt{5}}\right) \\
ζ_2&=-\frac{11}{4} \left(89+25 \sqrt{5}+5 i \sqrt{410-178 \sqrt{5}}\right) \\
ζ_3&=-\frac{11}{4} \left(89+25 \sqrt{5}-5 i \sqrt{410-178 \sqrt{5}}\right) \\
ζ_4&=-\frac{11}{4} \left(89-25 \sqrt{5}+5 i \sqrt{410+178 \sqrt{5}}\right) \\
\end{aligned} \]
zhuanlan.zhihu.com/p/530411825
前面我们讲到说考虑五次方程
$\frac{x^5}{11}=10x^3+5x^2-210x-89=0$
其预解式为
$x^4+89⋅11x^3+351⋅11^3x^2+89⋅11^6⋅x+11^{10}=0$
你可以看到这个系数很对称
对于循环群的根, 伽罗瓦理论预言伪根一定是如下形式:
\[\begin{bmatrix} ζ_1\\
ζ_2\\
ζ_3\\
ζ_4\\
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & ω & ω^4 & ω^2 \\
1 & ω^2 & ω^3 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & ω \\
1 & ω^4 & ω & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} z_1\\
z_2\\
z_3\\
z_4\\
\end{bmatrix}\]
其中
\[\begin{aligned} ω&= e^{2πi/5}\\
ω^n&=ω^{n\bmod 5} \end{aligned}\]
而 $z_i\in\mathbb{Q}$ , 如果参数得当的话, 甚至有 $z_i\in\mathbb{Z}$
我之前给出了一个解
\[\begin{bmatrix} ζ_1\\
ζ_2\\
ζ_3\\
ζ_4\\
\end{bmatrix}= 11\begin{bmatrix} 1 & ω & ω^4 & ω^2 \\
1 & ω^2 & ω^3 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & ω \\
1 & ω^4 & ω & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} -6\\
35\\
10\\
20\\
\end{bmatrix}\]
我他喵的今天又跑了一遍程序, 居然给我跑出了第二个解
\[\begin{bmatrix} ζ_1\\
ζ_2\\
ζ_3\\
ζ_4\\
\end{bmatrix}= 11\begin{bmatrix} 1 & ω & ω^4 & ω^2 \\
1 & ω^2 & ω^3 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & ω \\
1 & ω^4 & ω & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} 26\\
20\\
15\\
-10 \end{bmatrix}\]
我干脆不 early return 全跑一遍, 居然还有第三个解
\[\begin{bmatrix} ζ_1\\
ζ_2\\
ζ_3\\
ζ_4\\
\end{bmatrix}= 11\begin{bmatrix} 1 & ω & ω^4 & ω^2 \\
1 & ω^2 & ω^3 & ω^4 \\
1 & ω^3 & ω^2 & ω \\
1 & ω^4 & ω & ω^3 \\
\end{bmatrix}⋅ \begin{bmatrix} -41\\
-25\\
-35\\
-15 \end{bmatrix}\]
我也是被搞迷糊了, 伽罗瓦理论只是说会有一个解, 没说会有多个解啊
发布于 2022-06-20 16:52
cos(2π/17) 与 cos(2π/257) 的根式解怎么求?
这个问题非常简单，尤其是 $\cos \dfrac{2\pi}{17}$ ，是高中生熟知的内容
答案如下 $\displaystyle\cos\dfrac{2\pi}{17}=\frac{1}{4 \sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}+\sqrt{2 \left(6 \sqrt{17}+\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}-\sqrt{34 \left(17-\sqrt{17}\right)}+8 \sqrt{2 \left(\sqrt{17}+17\right)}+34\right)}+15}}}$
另一个稍微有一点长，在mathematica中执行以下代码即可
- A0 = Root[x^2 + x - 64, 2]
- A1 = Root[x^2 + x - 64, 1]
- B0 = Simplify[Root[x^2 - A0*x - 16, 2]]
- B1 = Simplify[Root[x^2 - A1*x - 16, 2]]
- B2 = Simplify[Root[x^2 - A0*x - 16, 1]]
- B3 = Simplify[Root[x^2 - A1*x - 16, 1]]
- C0 = Simplify[Root[x^2 - B0*x - A0 - 2*B0 - 5, 2]]
- C1 = Simplify[Root[x^2 - B1*x - A1 - 2*B1 - 5, 1]]
- C2 = Simplify[Root[x^2 - B2*x - A0 - 2*B2 - 5, 2]]
- C3 = Simplify[Root[x^2 - B3*x - A1 - 2*B3 - 5, 1]]
- C4 = Simplify[Root[x^2 - B0*x - A0 - 2*B0 - 5, 1]]
- C5 = Simplify[Root[x^2 - B1*x - A1 - 2*B1 - 5, 2]]
- C6 = Simplify[Root[x^2 - B2*x - A0 - 2*B2 - 5, 1]]
- C7 = Simplify[Root[x^2 - B3*x - A1 - 2*B3 - 5, 2]]
- D0 = Simplify[Root[x^2 - C0*x + A0 + C0 + C2 + 2 C5, 2]]
- D1 = Simplify[Root[x^2 - C1*x + A1 + C1 + C3 + 2 C6, 2]]
- D2 = Simplify[Root[x^2 - C2*x + A0 + C2 + C4 + 2 C7, 2]]
- D3 = Simplify[Root[x^2 - C3*x + A1 + C3 + C5 + 2 C0, 2]]
- D4 = Simplify[Root[x^2 - C4*x + A0 + C4 + C6 + 2 C1, 2]]
- D5 = Simplify[Root[x^2 - C5*x + A1 + C5 + C7 + 2 C2, 2]]
- D6 = Simplify[Root[x^2 - C6*x + A0 + C6 + C0 + 2 C3, 1]]
- D7 = Simplify[Root[x^2 - C7*x + A1 + C7 + C1 + 2 C4, 2]]
- D8 = Simplify[Root[x^2 - C0*x + A0 + C0 + C2 + 2 C5, 1]]
- D9 = Simplify[Root[x^2 - C1*x + A1 + C1 + C3 + 2 C6, 1]]
- D10 = Simplify[Root[x^2 - C2*x + A0 + C2 + C4 + 2 C7, 1]]
- D11 = Simplify[Root[x^2 - C3*x + A1 + C3 + C5 + 2 C0, 1]]
- D12 = Simplify[Root[x^2 - C4*x + A0 + C4 + C6 + 2 C1, 1]]
- D13 = Simplify[Root[x^2 - C5*x + A1 + C5 + C7 + 2 C2, 1]]
- D14 = Simplify[Root[x^2 - C6*x + A0 + C6 + C0 + 2 C3, 2]]
- D15 = Simplify[Root[x^2 - C7*x + A1 + C7 + C1 + 2 C4, 1]]
- E0 = Root[x^2 - D0*x + D0 + D1 + D2 + D5, 2]
- E1 = Root[x^2 - D1*x + D1 + D2 + D3 + D6, 2]
- E7 = Root[x^2 - D7*x + D7 + D8 + D9 + D12, 1]
- E8 = Root[x^2 - D8*x + D8 + D9 + D10 + D13, 1]
- E9 = Root[x^2 - D9*x + D9 + D10 + D11 + D14, 1]
- E15 = Root[x^2 - D15*x + D15 + D0 + D1 + D4, 2]
- E16 = Root[x^2 - D0*x + D0 + D1 + D2 + D5, 1]
- E17 = Root[x^2 - D1*x + D1 + D2 + D3 + D6, 1]
- E23 = Root[x^2 - D7*x + D7 + D8 + D9 + D12, 2]
- E24 = Root[x^2 - D8*x + D8 + D9 + D10 + D13, 2]
- E25 = Root[x^2 - D9*x + D9 + D10 + D11 + D14, 2]
- E31 = Root[x^2 - D15*x + D15 + D0 + D1 + D4, 1]
- F0 = Root[x^2 - E0*x + E1 + E23, 2]
- F24 = Root[x^2 - E24*x + E15 + E25, 1]
- F32 = Root[x^2 - E0*x + E1 + E23, 1]
- F56 = Root[x^2 - E24*x + E15 + E25, 2]
- G0 = Root[x^2 - F0*x + F56, 2]
- X = G0/2
如何求 cos(2π/23) 的根式表达？ |
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