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$n\gt2$为奇数，$\zeta_n=\mathrm{e}^{i\frac{2\pi}n}$，$μ(n)$是Möbius function，
- $\mu(n)=0$，则$\sum_{k=1}^{\text{ord}_n(2)}\zeta_n^{2^k}=0$
- $\mu(n)\ne0$，则$\sum_{k=1}^{\text{ord}_n(2)}\zeta_n^{2^k}$的极小多项式的次数为$\varphi(n)\over\text{ord}_n(2)$
Sum[Exp[I*2Pi/n*2^k],{k,1,MultiplicativeOrder[2,n]}] for n=3$=-1$的极小多项式$x + 1$的次数为1
Sum[Exp[I*2Pi/n*2^k],{k,1,MultiplicativeOrder[2,n]}] for n=5$=-1$的极小多项式$x + 1$的次数为1
Sum[Exp[I*2Pi/n*2^k],{k,1,MultiplicativeOrder[2,n]}] for n=7$=\frac{1}{2}(-1+i \sqrt{7})$的极小多项式$x^2 + x + 2$的次数为2
Sum[Exp[I*2Pi/n*2^k],{k,1,MultiplicativeOrder[2,n]}] for n=15$=\frac{1}{2}(1+i \sqrt{15})$的极小多项式$x^2 - x + 4$的次数为2 |
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