设$F$是无限域，$E$是$F$的有限扩域，$E$一定是$F$的单代数...

abababa

设$F$是无限域，$E$是$F$的有限扩域，$E$一定是$F$的单代数扩域吗？

我知道当$E$是$F$的可离扩域时一定能写成$F$的单代数扩域，并且也不要求$F$是无限域。

而原问题是对的吗？是不是还得要求$F(a_1,\cdots,a_n)$的那些添加元素$a_i$都是可离元（$a_i$的极小多项式没有重根）？

Czhang271828

问题: 有限不可分扩张是单扩张吗? 答案: 不必.

应知道存在不可分扩张的域只能是特征为 $p$ 的无限域, 也就是non-perfect field. 最常接触到的反例是 $\mathbb F_p(X,Y)/\mathbb F_p(X^p,Y^p)$, 这是个不可分扩张, 计算次数为
$$
[\mathbb F_p(X,Y):\mathbb F_p(X,Y^p)]\cdot [\mathbb F_p(X,Y^p):\mathbb F_p(X^p,Y^p)]=p^2.
$$
为何不是单扩张呢? 因为 $\mathbb F_p(X,Y)$ 中任意元在 $\mathbb F_p(X^p,Y^p)$ 上的扩张只能是 $p$ 次的, 因为他的 $p$ 次方一定在 $\mathbb F_p(X^p,Y^p)$ 内 (依照 $(\sum m_i)^p=\sum m_i^p$, 其中 $m_i$ 为单项式).

又: 看到'单代数'愣了一下, 原来是'代数扩张 $\cap$ 单扩张'. 以及词汇体系好像不大一样, '可离扩域'我一般叫'可分扩张'. 如果看的是英文文献, 可以直接放原文.

abababa

Czhang271828 发表于 2023-6-19 21:35
问题: 有限不可分扩张是单扩张吗? 答案: 不必.

应知道存在不可分扩张的域只能是特征为 $p$ 的无限域, 也就 ...

谢谢，非常有帮助。