求证$\bar{E}/F$是有限可分扩张

abababa

设$E/F$是有限扩张，$\bar{E}$是$E/F$的正规闭包，求证$\bar{E}/F$是有限可分扩张。

设$E=F(a_1,\cdots,a_n)$，$a_i$在$F$上的极小多项式为$g_i(x)$，则$f(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots g_n(x)$在$F$上的分裂域就是$\bar{E}$，因此$\bar{E}/F$是有限扩张。

怎么证明它也是可分扩张呢？而且我觉得是不是只有当$F$是完全域时才对？

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1939472/separability-and-normal-closure

abababa

hbghlyj 发表于 2025-1-20 03:24
https://math.stackexchange.com/questions/1939472/separability-and-normal-closure

链接里的$K/F$就要求是可分的，但主楼里没有这个条件，所以我在主楼里才会有疑问，是不是当$F$是完全域时才对，完全域就可分了，因为$E/F$是有限扩张，所以必定是代数扩张，而$F$是完全域，完全域的代数扩域还是完全域，因此$E,\bar{E}$都是完全域，上面的多项式都可分，自然是可分扩张了。

hbghlyj

abababa 发表于 2025-1-26 11:08
链接里的$K/F$就要求是可分的，但主楼里没有这个条件，所以我在主楼里才会有疑问，是不是当$F$是完全域时 ...

如果你在寻找一个正规扩张但不是可分扩张，请考虑以下例子：
$K=\mathbb{F}_2(\sqrt{t})$ 是 $F=\mathbb{F}_2(t)$ 上的二次扩张，每个二次扩张都是正规的，因此 $K/F$ 是正规的。
$\sqrt{t}\in K$ 在 $F$ 上的最小多项式是 $m(X)=X^2-t$，并且$m'(X)=0$，$m(X)$不是可分的，因此 $K/F$ 不是可分的。

hbghlyj

$K/F$ 是正规的，因此 $K$ 是 $K/F$ 的正规闭包。
而 $K/F$ 不是可分的。

abababa 发表于 2023-8-14 10:41
设$E/F$是有限扩张，$\bar{E}$是$E/F$的正规闭包，求证$\bar{E}/F$是有限可分扩张。

所以原命题不成立。

abababa

hbghlyj 发表于 2025-1-27 02:03
如果你在寻找一个正规扩张但不是可分扩张，请考虑以下例子：
$K=\mathbb{F}_2(\sqrt{t})$ 是 $F=\mathbb{ ...

我明白了，只有在这种有限域上才有这种情况。
对于那个可分性，另一个命题是$E/F,K/E$都可分，则$K/F$也可分。证明这个对我来说还是很麻烦，连着证明了好几个其它命题，最后才证明出来。可能是那些前置命题以前我都没证明过的原因。