把上半平面共形映照到单位圆盘

hbghlyj

求上半平面$\Bbb H$到单位圆盘的共形映照$f$.
$a,\bar a$关于实轴对称.
当$a\in\Bbb H$时,上半平面的点到$a$的距离小于到$\bar a$的距离.
所以,上半平面可以写成$\abs{z-a\over z-\bar a}<1$.
而,单位圆盘可以写成$\abs{z}<1$.
所以$f(z)=\abs{z-a\over z-\bar a}$满足要求(显然不唯一).

hbghlyj

根据Matrix Representation of Complex Numbers把$x+yi$表示为2阶矩阵$\pmatrix{x&-y\\y&x}$
复数的Cayley transform是一个Möbius transform\begin{equation}\label1f(z)=\frac{z-i}{z+i}\end{equation}映射circline $\{∞, 1, –1 \}$到circline $\{1, –i, i \}$
\[f(x+yi)=\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(1+y)^2}-\frac{2 i x}{x^2+(1+y)^2}\]
于是, 相应的2阶矩阵的映射$f$为\begin{equation}\label2f\left(\pmatrix{x&-y\\y&x}\right)=\pmatrix{\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(1+y)^2}&\frac{2x}{x^2+(1+y)^2}\\
-\frac{2x}{x^2+(1+y)^2}&\frac{x^2+y^2-1}{x^2+(1+y)^2}
}\end{equation}
按照\eqref{1}写出形式上相同的2阶矩阵的映射$\tilde f$
\[\tilde f(A)=\frac{A-iI}{A+iI}\]

1. A[x_,y_]:={{x,-y},{y,x}};
2. (A[x,y]-A[0,1]).Inverse[A[x,y]+A[0,1]]//Together

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\begin{equation}\label3\tilde f\left(\pmatrix{x&-y\\y&x}\right)=\begin{pmatrix}
\frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+2 y+1} & \frac{2 x}{x^2+y^2+2 y+1} \\
-\frac{2 x}{x^2+y^2+2 y+1} & \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+2 y+1}
\end{pmatrix}\end{equation}
可见\eqref{2}和\eqref{3}相同. 所以$f=\tilde f$.