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isee
Post time 2014-5-23 10:43
本帖最后由 isee 于 2014-5-27 10:52 编辑 先看几个准备知识
1. 平面内，把两两相交没有三线共点的四条直线段及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形；
2. 设两点$C$，$D$内分与外分同一线段$AB$成同一比例，即$\dfrac {AC}{CB}=\dfrac {AD}{DB}$，则称点$C$和点$D$调和分割线段$AB$（或$C$是$D$关于线段$AB$的调和共轭点），同时，$A$，$B$也调和分割线段$CD$；
3. 完全四边形的一条对角线被其余两条对角线调和分割；
4. 第3条通常情况下，可用Ceva定理及Menelaus定理两定理联手证明；
5. 以上，可参见任何一本高等几何教材，或者初高中竞赛完全四边形，或者线段的调和分割（即调和点列，不过，此时线段全部有向线段）章节；
6. 圆锥曲线中弦$PP'$延长线与准线相交于$K$，则$FK$为三角形$PP'F$的外角平分线，特别的，$P$与$P$'重合，即$PP'$为切线，则$KF$垂直于$PF$；
7. 椭圆在任一点P切线是焦三角形$PFF'$的外角平分线（圆锥曲线的光线性质）；
8. 几何画板 用 几何定义 + locus(轨迹) 一样可自由画出椭圆；
废话说完，切入主题，不过，这个切入并不通俗（同时，寻找直接从椭圆出发更通俗的证明），抛砖了（平几方式）……
今天论坛很慢，公式看不到转换结果，先搁个图吧，此法为初法，延续2楼链接证法，算是补充。
但是逻辑上比较混乱：亦即，先承认圆$I$已经是三角形$K_1F_1K_2$的旁切圆——而这，正好与$K_1N,K_2M$相交于点$A_2$是等价的。
故而以下“分析(或说思维形成过程)”的是如果圆$I$已经是三角形$K_1F_1K_2$的旁切圆，且正好切于$K_2$，则：
在三角形$A_1MN$中用Ceva定理逆定理，强证$MK_2,NK_1$交点在$A_1A$上，
如果这个交点正好是$A_2$的话，而椭圆里，$A_1,A_2$调和分割线段$F_2A$，这是其一，
其二，三角形$K_1F_1K_2$的旁切圆的圆心其实就是过$K_1,K_2$椭圆的切线的交点，这样一来，需要证明直线$MN$即椭圆的准线。
以上那么多字，换句话即需证：完全四边形$A_1K_1MA_2NK_2$的对角线所在的直线$MN$即为椭圆准线
于是，有以下完全摆脱kuing解法的新方法。
改进方式(或者说iC孤芳自赏)：$A_1K_2,A_1A_2,AK_1,K_1K_2$直线交准线分别于$N,A,M,L$，
则在完全四边形$MNLK_2A_1K_1$中，由$A_1,A_2$调和分割线段$F_2A$，直接(其实也不直接，细节可参考12楼)得到$K_2M,K_1N$交于$A_2$.
这样一来，就需要证明$MN$为圆$I$的直径才能完成整个命题.
这个就需要对调和点列比较熟悉了.
一方面，由准备中的第6条，圆I已经是三角形$F_1K_1K_2$的旁切圆，于是：$IF^2=IA\cdot IL$；
另一方面，完全四边形$MNLK_2A_1K_1$中，容易得到$M,N$调和分割线段$LA$，记$MN$的中点为I'，则$I'N^2{^2}=IA\cdot IL$.
从而$I$为$MN$的中点，即$MN$为圆$I$的直径，证毕. |
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kuing
Post time 2014-5-15 15:30
其妙
Post time 2014-5-23 23:22
