一道三角不等式

hbghlyj

在$\triangle ABC$中,求证$$\sum\csc\frac A2\ge\frac85\sum\csc A$$
当$A=B\to0$时取等
$$\lim_{x\to 0}\frac{2\csc\frac{ x  }{2}+ \sec x }{2  \csc x+\csc 2x}=\frac85$$

色k

好像你以前发过

kuing

baoli 撸掉。

作内切圆代换后，有
\[\sin\frac A2=\sqrt{\frac{yz}{(z+x)(x+y)}},~\sin A=\frac{2\sqrt{xyz(x+y+z)}}{(z+x)(x+y)},\]
所以
\begin{align*}
\text{原式}&\iff\sum\sqrt{\frac{(z+x)(x+y)}{yz}}\geqslant\frac45\sum\frac{(z+x)(x+y)}{\sqrt{xyz(x+y+z)}}\\
&\iff5\sqrt{x+y+z}\sum\sqrt{x(z+x)(x+y)}\geqslant4\sum(z+x)(x+y)\\
&\iff25\sum x\left(\sum\sqrt{x(z+x)(x+y)}\right)^2\geqslant16\left(\sum x^2+3\sum xy\right)^2,
\end{align*}
由柯西及均值有
\begin{align*}
&\left(\sum\sqrt{x(z+x)(x+y)}\right)^2\\
={}&\sum x(z+x)(x+y)+2\sum\sqrt{xy(z+x)(z+y)}(x+y)\\
\geqslant{}&\sum x(z+x)(x+y)+2\sum\sqrt{xy}\bigl(z+\sqrt{xy}\bigr)(x+y)\\
={}&\sum x(z+x)(x+y)+2\sum\sqrt{xy}(x+y)z+2\sum xy(x+y)\\
\geqslant{}&\sum x(z+x)(x+y)+12xyz+2\sum xy(x+y)\\
={}&\sum x^3+3\sum xy(x+y)+15xyz,
\end{align*}
所以只需证
\[25\sum x\left(\sum x^3+3\sum xy(x+y)+15xyz\right)^2\geqslant16\left(\sum x^2+3\sum xy\right)^2,\]
展开配方为
\[9\sum x^2(x-y)(x-z)+13\sum xy(x-y)^2+132xyz(x+y+z)\geqslant0,\]
即得证，且等号取不了。