$f^{-1}(U)∩A=∅⇒U∩f(A)=∅$

hbghlyj

问题: $f:X→Y$, $A⊂X$, $U⊂Y$, $f^{-1}(U)∩A=∅$能否推出$U∩f(A)=∅$
其中$f^{-1}(U)$为$U$的原像.
来源: 这份2018讲义 Proposition 1.80 的证明

我的想法:
根据交集的像, $f(f^{-1}(U)∩A)\subseteq U∩f(A)$, 但这只能推出$∅\subseteq U∩f(A)$

Czhang271828

若不然, 存在 $y\in U\cap f(A)$. 则有 $x\in A$ 使得 $f(x)=y$. 此时 $x\in f^{-1}(U)$, 与 $f^{-1}(U)\cap A=\varnothing$ 矛盾.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-2-3 05:24
建议使用 \varnothing (\kongji).

我更喜欢使用 \emptyset 而不是 \varnothing，因为符号 \varnothing 需要额外加载 amssymb 包，而 \emptyset 在 LaTeX 中可以直接使用。


您可以通过查看文件 amssymb.sty 中找到 \varnothing 的定义，
您可以通过查看文件 fontmath.ltx 中找到 \emptyset 的定义，因为它是 LaTeX 内置符号

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-10-24 19:53
我更喜欢使用 \emptyset 而不是 \varnothing，因为符号 \varnothing 需要额外加载 amssymb 包，而 \empty ...

两种当然都可以用, 我更倾向从本意 (挪威字母 Ø) 出发. $\mathsf {Ø}$ 和 $\varnothing$ 长得差不多, 但是 $\emptyset$ 看着和 $0$ 有关, 具有误导性. 一般地, 用 $\{\,\}$ 或是 $\bot$ (集合范畴的始对象) 也行.