加强命题 思路是什么

极光永明

题目：设数列$a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$满足$a_0=\dfrac{1}{2}$及$a_{k+1}=a_k+\dfrac{1}{n}{a_k}^2$（$k=0,1,2,\cdots$），其中$n$是一个给定的正整数，求证：\[1-\dfrac{1}{n}<a_n<1\]

题解见附件。
请问如何想到把$1-\dfrac{1}{n}$放缩成$\dfrac{n+1}{n+2}$而不是$\dfrac{n}{n+1}$或者其他东西的？
另外，在推广的过程中，是如何想到把分母拆成$\dfrac{n+1}{2n-k+2}$，并且不动分母的？

（看完题解颇为疑惑，望大佬解答）

kuing

怎么想到的我不知道，但 (n+1)/(n+2) 的也有比较简单的证法，见：
forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=66&pid=418（6#）

战巡

这种问题就好比你不小心打翻了水杯，水撒了一地，你问你妈：这个要怎么办？
你妈拿起拖把刷刷拖完了
然后你问你妈：你是怎么想到用拖把的？

你说怎么想到的？你觉得你妈能怎么回答你？