高考模拟卷中的压轴不等式

isee

当$n\in \mathrm N^*$时，证明：$$\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{(n+k)\tan \frac{1}{n+k}}}>n-\frac{1}{4n+2}.$$


未深思，仅仅浏览了一下标答——先不发上来——觉得解答冗长，难想——故发上来~

kuing

如果能证明
\[\frac x{\tan x}>1-\frac 12x^2,\quad 0<x<1\]的话应该可以了，看图是成立的，之后就是变成常规的放缩裂项，分母减 1/4 什么的……

原题没有类似的提示小问？

isee

回复 2# kuing

(间接)提示的小方向是一个常识：$x>0,x>\sin x$，至少从标答中看，有没有这个提示，（关系不大）。

就是 2021届深圳高三数学二模（4月21号）

isee

如果能证明
\[\frac x{\tan x}>1-\frac 12x^2,\quad 0
kuing 发表于 2021-4-23 14:47

行家出手就是不一样~

kuing

令 `f(x)=(2-x^2)\tan x-2x`，易得 `f(0)=f'(0)=0`，所以只需证 `f''(x)<0`，先逛会街，回来再续……

kuing

回复 5# kuing

真笨啊，令 `f(x)=(2-x^2)\sin x-2x\cos x` 不是更好么……

isee

回复 6# kuing


    你故意的吧？2#左边分子放成正弦就OK吧

kuing

回复 7# isee

不，是我傻了状态越来越差了

isee

回复 8# kuing

我是看的答案，你是直接分析出关键式，这个完全不同的~大大的厉害~

kuing

回复 9# isee

分析出来之后却一直想着怎么求导简单，竟然没注意到这样放
话说我下午去逛街之后你怎么不说……

isee

回复  isee

分析出来之后却一直想着怎么求导简单，竟然没注意到这样放
话说我下午去逛街之后你怎 ...
kuing 发表于 2021-4-23 23:34

逛街怎么能打扰呢~

kuing

在知乎又看到此题：zhihu.com/question/644144752/answer/3395060070
顺手写完了上面说的证明过程（即 2# + 7#）