2013大纲全国卷理压轴题

aishuxue

第二问，证明：$ (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+n})+\frac{1}{4n}>\ln 2 $，$ n\in\mathbf{N^*} $

aishuxue

$ (\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{n+n})+\dfrac{1}{4n}>\ln 2 $，$ n\in\mathbf{N^*} $

kuing

呃？2013高考题？怎么我记得很早以前就见过……

kuing

回复 3# kuing
搜了一下真的有
zhidao.baidu.com/question/154736889.html（2010，无解答）
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=877061（2011，有解答，但用到极限）

其妙

有$\ln2$，恐怕定积分比较好吧？
没动笔

其妙

回复 5# 其妙
原答案：（后来者作为的资料）
即 $\frac{x(2+x)}{2+2 x}>\ln (1+x)$.
取 $x=\frac{1}{k}$，则 $\frac{2 k+1}{2 k(k+1)}>\ln \frac{k+1}{k}$．
于是
\[
\begin{aligned}
a_{2 n}-a_n+\frac{1}{4 n} & =\sum_{k=n}^{2 \pi-1}\left(\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2(k+1)}\right) \\
& =\sum_{k=n}^{2 \pi-1} \frac{2 k+1}{2 k(k+1)} \\
& >\sum_{k=n}^{2 n-1} \ln \frac{k+1}{k} \\
& =\ln 2 n-\ln n \\
& =\ln 2
\end{aligned}
\]
所以 $a_{2 n}-a_n+\frac{1}{4 n}>\ln 2$．

走走看看

这是不和谐的式子，很难想到把倒数第二项调到第一项。
下面的链接有人探讨了此题的解题方法：
blog.sina.com.cn/s/blog_804164070102wcxz.html … 001-415A6562-95E-8A0