阿里baba数学竞赛数列题

lemondian

若序列$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a^2_n}{n^2}，a_1=\dfrac{2}{5}$，证明：对所有正整数$n$都有$a_n<1$。

战巡

$a_1$呢？要$a_1>1$不完犊子？

战巡

显然$a_n$是递增的，然后
\[a_1=\frac{2}{5}<1\]
\[a_2=\frac{14}{25}<1\]
\[a_3=\frac{399}{625}<1\]
\[a_4=\frac{267064}{390625}<1\]
对于$n\ge 5$，有
\[a_n-a_4=\frac{a_4^2}{4^2}+\frac{a_5^2}{5^2}+...+\frac{a_{n-1}^2}{(n-1)^2}<a_{n-1}^2\sum_{k=4}^{\infty}\frac{1}{k^2}=a_{n-1}^2(\frac{\pi^2}{6}-\frac{49}{36})\]
\[a_n<a_{n-1}^2(\frac{\pi^2}{6}-\frac{49}{36})+a_4=a_{n-1}^2(\frac{\pi^2}{6}-\frac{49}{36})+\frac{267064}{390625}\]
故此，如果$a_{n-1}<1$，则有
\[a_n<(\frac{\pi^2}{6}-\frac{49}{36})+\frac{267064}{390625}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{9526321}{14062500}=0.967507<1\]
而显然$a_4<1$成立，因此归纳成立

kuing

不难。

递推式倒数得
\[\frac1{a_{n+1}}=\frac1{a_n}-\frac1{a_n+n^2},\]
易知 `a_2=14/25`，所以对任意正整数 `n\geqslant2`，有
\begin{align*}
\frac1{a_{n+1}}&=\frac1{a_2}-\frac1{a_2+2^2}-\frac1{a_3+3^2}-\cdots-\frac1{a_n+n^2}\\
&>\frac{25}{14}-\frac1{2^2}-\frac1{3^2}-\cdots-\frac1{n^2}\\
&>\frac{25}{14}-\frac14-\frac1{3\cdot2}-\cdots-\frac1{n(n-1)}\\
&=\frac{25}{14}-\frac14-\frac12+\frac1n\\
&=\frac{29}{28}+\frac1n\\
&>1,
\end{align*}
所以 `a_{n+1}<1`。

睡神

这个是老题了
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