$Z$在$Y$中稠密，$Y$在$X$中稠密

hbghlyj

$Z⊆Y⊆X⊆ℝ^n$，$Z$在$Y$中稠密，$Y$在$X$中稠密，求证$Z$在$X$中稠密

hbghlyj

任意$x\in X$，任意$\epsilon>0$，
因为$Y$在$X$中稠密，存在$y\in Y$使得$|x-y|<\frac\epsilon2$
因为$Z$在$Y$中稠密，存在$z\in Z$使得$|y-z|<\frac\epsilon2$
$|x-z|\le|x-y|+|y-z|<\epsilon$
故$Z$在$X$中稠密

abababa

这必然的吧，因为任意的$x\in X$都能用$\{y_n\}\subseteq Y$一致逼近，而任意的$y_n\in Y$都能用$\{z_m\}\subseteq Z$一致逼近，所以存在$N$使得当$n,m>N$时有
\[\abs{y_n-x}<\varepsilon, \abs{y_n-z_m}<\varepsilon\]

再用三角不等式就证明了。

hbghlyj

当X,Y具有不同的范数时，该定理需要一个额外条件，见Density of Nested Subspaces Counter Example
Boris Bilich的回答中

Let $X=(C[a,b],\|\cdot\|_{\infty}),~Y=(C[a,b],\|\cdot\|_{2})$
and $Z$ be the subset of $Y$, consisting of functions with property $f(0)=0$.
It is dense in $Y$ with $L^2$ norm, but it's closed in $\|\cdot\|_{\infty}$ norm.

$X$和$Y$都是$C[a,b]$但具有不同的范数。
$Z=\Set{f\in Y|f(0)=0}$是一个子空间。
$(Z,‖⋅‖_2)$在$C[a,b]$中稠密。
$(Z,‖⋅‖_∞)$是闭集，因为若在$‖⋅‖_∞$下$f_n\to f$，（一致收敛必逐点收敛）则$f_n(0)=f(0)=0$.

abababa

hbghlyj 发表于 2023-9-4 19:56
当X,Y具有不同的范数时，该定理需要一个额外条件，见Density of Nested Subspaces Counter Example
Boris B ...

但主楼实际上只是在拓扑空间里考虑，没有距离和范数之类的，只需要那个拓扑能继承下来就行。
因为$Z$在$Y$中稠密，所以$Y\subseteq\bar{Z}$，所以$\bar{Y}\subseteq\bar{\bar{Z}}=\bar{Z}$。因为$Y$在$X$中稠密，所以$X\subseteq\bar{Y}$，但$\bar{Y}\subseteq\bar{Z}$，所以$X\subseteq\bar{Z}$，就得到$Z$在$X$中稠密了。

其中$\bar{X}$表示$X$的闭包。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-4 20:39
因为$Z$在$Y$中稠密，所以$Y\subseteq\bar{Z}$，所以$\bar{Y}\subseteq\bar{\bar{Z}}=\bar{Z}$。因为$Y$在$X$中稠密，所以$X\subseteq\bar{Y}$，但$\bar{Y}\subseteq\bar{Z}$，所以$X\subseteq\bar{Z}$，就得到$Z$在$X$中稠密了。

其中$\bar{X}$表示$X$的闭包。

闭包与外围的空间有关吧，例如topology 2017第12页把“The closure of B in A”记为$\overline B^A$

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-4 20:39
因为$Z$在$Y$中稠密，所以$Y\subseteq\bar{Z}$

懂了。因为$Y$在$X$中稠密，所以$X=\bar{Y}^X$
因为$Z$在$Y$中稠密，所以$Y=\bar{Z}^Y$，而$\bar{Z}^Y=\bar{Z}^X\cap Y$，所以$Y\subseteq\bar{Z}^X$，所以$\bar{Y}^X\subseteq\bar{Z}^X$
所以$X=\bar{Z}^X$，就得到$Z$在$X$中稠密了。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-4 20:39
但主楼实际上只是在拓扑空间里考虑，没有距离和范数之类的，只需要那个拓扑能继承下来就行。

主楼只考虑从$X$继承下来的拓扑。对于$Y$上的其它拓扑，那帖Density of Nested给出的额外条件 $\|y\|_X≤C\|y\|_Y$ 等价于“拓扑$(Y,\|\cdot\|_Y)$比$(Y,\|\cdot\|_X)$更精细”