构造有理数

APPSYZY

请问：怎样在闭区间(a,b)内构造出一个具体的有理数？

isee

回复 1# APPSYZY


第一想法竟然是取整，再取平均值，在不在，不知。

又想了下，如果区间长度够长，包含了一个整数，则上法OK，此法难在区间长度小于等于1的时候。。

又想了下，b-a 是定值，哪肯定是存在足够大的整数n，使得无穷小1/2^n 在其区间内了，取整都是多余的。。

又想了下，上面还是有问题。。只是讨论了(0,1)之间(粗步)。。请无视，楼下继续

APPSYZY

回复 2# isee
我大概的想法是这样的：把b从小数某一位后的数字全部抹去，得到一个新的具有有限位小数位数的b'，b'一定是有理数，这时要求抹去的数字小于b-a，但是我没能具体把它构造出来，即便用到了向下取整函数之类的。。。

realnumber

继续楼上思路，应该可行的，
因为r=[$e^a+e^{-a}+100$]>$e^a+e^{-a}>±a$，以下类似.
区间A=(a,b)变换为B=(a+r,b+r),此时b+r>a+r>0
又s=[100(b-a)($b-a+\frac{1}{b-a}$)]≥100,
此时集合C=(s(a+r),s(b+r)),的长度至少是100
集合D=([s(a+r)],[s(b+r)])的长度至少是90，
令m=0.5([s(a+r)]+[s(b+r)])是D,C内的一个有理数
m/s是B内的一个有理数
m/s-r就是A内的一个有理数

realnumber

en,没看出错误

hbghlyj

isee 发表于 2019-9-27 14:35
又想了下，如果区间长度够长，包含了一个整数，则上法OK，此法难在区间长度小于等于1的时候。。

令 $n=\lfloor\frac1{b-a}\rfloor+1$
注意到 $nb-na>1$ 意味着 $na$ 和 $nb$ 之间必须有一个整数 $m=⌊na⌋+1$.
$$na<m<nb\implies a<\frac mn<b$$