irrational lissajous曲線

hbghlyj

$f(t)=(\sin t,\sin\sqrt2 t)$
证明集合$f(\Bbb R)$在$[-1,1]^2$上稠密

hbghlyj

取任意點$(x,y)\in[-1,1]^2$，
根據「对正整数 $n$ 及无理数 $\alpha$，$\{n\alpha\}$ 在 $[0,1]$ 上稠密。」，
$\{2\sqrt{2}\pi n\bmod2\pi:n\inZ\}$在$[0,2\pi]$上稠密，
故$\{\sin(\sin^{-1}x+2\sqrt2\pi n):n\inZ\}$在$[-1,1]$上稠密。
$(x,y)$到$f(\sin^{-1}x+2\pi n)$的距离为$\abs{\sin(\sin^{-1}x+2\sqrt2\pi n)-y}$，根據上面的，這個距离可以任意小

hbghlyj

Roses with irrational number values for k
roses specified by sinusoids with angular frequencies that are irrational constants form a dense set (that is, they come arbitrarily close to specifying every point in the disk $r ≤ a$).

$k\inR\setminus\Bbb Q,f(t)=(\cos(kt)\cos(t),\cos(kt)\sin(t)),$
证明$f(\Bbb R)$在$x^2+y^2\le1$稠密。

如何证明呢？

hbghlyj

在$x^2+y^2\le1$上取任意点，不妨设它在$x$轴上，$(a,0),a\in[-1,1]$.
根據「对正整数 $n$ 及无理数 $\alpha$，$\{n\alpha\}$ 在 $[0,1]$ 上稠密。」，
$\{2k\pi n\bmod2\pi:n\inZ\}$在$[0,2\pi]$上稠密，
故$\{\cos(2k\pi n):n\inZ\}$在$[-1,1]$上稠密。
$f(2\pi n)=(\cos(2k\pi n),0)$到$(a,0)$的距离为$\abs{\cos(2k\pi n)-a}$可以任意小。