任意一个区间中总存在有理数和无理数

abababa

如题，给定区间$(a,b)$，其中$a<b$，区间中一定存在有理数和无理数，但我这个是直接通过结论：有理数集是稠密的来得到的。
要如何确实构造出这么一个有理数$r$和无理数$s$呢？
有理数我想的是$b>a$，于是$b-a>0$，然后总存在整数$n$使得$n(b-a)>1$，这时就有$nb-1>na$，然后令$r=nb-1$，则$r$是整数并且$nb>r>na$，这时$b>\frac{r}{n}>a$，就弄出来了，无理数的我没想出要怎么弄。

abababa

回复 1# abababa
我明白了，还是用那个阿基米德性质，也存在整数$n$使得$n(b-a)>\sqrt{2}$，然后取$c=[na]+\sqrt{2}$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数。就有$c=[na]+\sqrt{2}>[na]+1>na$，也有$c=[na]+\sqrt{2}\le na+\sqrt{2}<nb$，这样的话就有$c\in (na,nb)$，然后$\frac{c}{n}\in(a,b)$。因为$c$是无理数，$n$是整数，所以$\frac{c}{n}$还是无理数。