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本帖最后由 hbghlyj 于 2023-11-5 22:56 编辑 式(9)给出一个Möbius带不成立Stokes定理的例子：在$\{(x, y, z)\inR^3 \mid x^2 + y^2 \ne 0\}$定义向量场 $\bf F$
\[\mathbf{F}(x, y, z)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right)\]
可以计算验证$\operatorname{curl}\mathbf F = 0$.
Möbius带是取一张长方形的纸条，扭转后将两侧粘合在一起而得到的。更准确地说：
首先，想象一下在 yz 平面上绘制一条直线段 $x = R,−L ≤ y ≤ L$ 并绕 z 轴旋转得到一个圆柱体。
然后，假设当直线段绕 z 轴旋转时，也以一半的速率绕其中心逆时针旋转，则会上下颠倒地返回到其起点。
注意，我们假设 $L < R$ 以确保生成的曲面没有自相交。
用圆柱坐标 $x = r\cos(v),y = r\sin(v),z = z$ 写出参数化：\begin{aligned}
x(t, v)&=\left(R-t \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \cos (v) \\
y(t, v)&=\left(R-t \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \sin (v) \\
z(t, v)&=t \cos \left(\frac{v}{2}\right) \\
&0 \leq v \leq 2 \pi \quad-L \leq t \leq L
\end{aligned}现在要确定该曲面的边界曲线 $γ$. 注意，由于线段在回到起点时已经上下颠倒了，因此如果我们沿着线段顶部的点移动，则在旋转角度 $2π$ 后，线段会到达底部，再转过$2π$角后回到顶部。 因此，边界曲线可以通过在表面参数化中取 $t = L$ 和 $0 ≤ v ≤ 4π$ 来参数化。
\begin{aligned}
\mathbf r(v)&=(x(v),y(v),z(v))\\
x(v) & =\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \cos (v) \\
y(v) & =\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \sin (v) \\
z(v) & =L \cos \left(\frac{v}{2}\right) \\
&0 \leq v \leq 4 \pi
\end{aligned}Stokes定理为$$\iint_M\operatorname{curl}\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S=\oint_\gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}$$因为$\operatorname{curl}\mathbf{F} =\bf0$，等式左侧为$0$. 我们计算等式右侧的line integral：
\[\oint_\gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_0^{4 \pi} \mathbf{F}(x(v), y(v), z(v)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(v) d v\]
计算$\mathbf r'(v)$和$\mathbf{F}(\mathbf{r}(v))$：
\begin{aligned}
x^{\prime}(v) & =-\frac{L}{2} \cos \left(\frac{v}{2}\right) \cos (v)-\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \sin (v) \\
y^{\prime}(v) & =-\frac{L}{2} \cos \left(\frac{v}{2}\right) \sin (v)+\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right) \cos (v) \\
z^{\prime}(v) & =-\frac{L}{2} \sin \left(\frac{v}{2}\right) \\
\mathbf{F}(\mathbf{r}(v)) & =\left\langle\frac{-\sin (v)}{\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right)}, \frac{\cos (v)}{\left(R-L \sin \left(\frac{v}{2}\right)\right)}, 0\right\rangle
\end{aligned}计算内积\[\mathbf{F}(\mathbf{r}(v)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(v)=1\]代入line integral得$$\oint_\gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_0^{4 \pi} d v=4 \pi \neq 0$$因此等式右侧的line integral不为0. |
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