为什么单位圆上两个不可区分点的集合形成Möbius环

hbghlyj

对于单位圆内的任何一对点 $x,y∈S^1$，考虑无序对 $\{x,y\}$，形成一个空间$$\mathrm{Sym}^2(S^1)$$对于单位圆内的任何一对点 $x,y∈S^1$，我们关联它们的垂直平分线，它是一条通过原点的直线，因此是 $\mathbb{RP}^1$ 的一个元素（如果 $x=y$，我们取通过原点的直线）。这定义了一个映射 $\mathrm{Sym}^2(S^1)→\mathbb{RP}^1$。通过检查，这是不可定向的（即绕 $\mathbb{RP}^1$一圈会翻转区间），我们可以看到这是一个 Möbius 带（该论证被 Tuffley 收录在本文的第 2.2 节中。）

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莫比乌斯带的边界对应于两点重合时
莫比乌斯带的中心圆对应于两点为直径的端点时