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对于单位圆内的任何一对点 $x,y∈S^1$,考虑无序对 $\{x,y\}$,形成一个空间$$\mathrm{Sym}^2(S^1)$$对于单位圆内的任何一对点 $x,y∈S^1$,我们关联它们的垂直平分线,它是一条通过原点的直线,因此是 $\mathbb{RP}^1$ 的一个元素(如果 $x=y$,我们取通过原点的直线)。这定义了一个映射 $\mathrm{Sym}^2(S^1)→\mathbb{RP}^1$。通过检查,这是不可定向的(即绕 $\mathbb{RP}^1$一圈会翻转区间),我们可以看到这是一个 Möbius 带(该论证被 Tuffley 收录在本文的第 2.2 节中。) |
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