Möbius带上的蚂蚁的状态的空间$S^1\times\mathbb{R}^3$

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Tangent bundle of mobius strip is diffeomorphic to $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}^3$
Möbius带 $M=\{(\theta,y)|\theta\in[0,\pi],y\in \mathbb{R}\}/(0,y)\sim(\pi,-y).$

考虑 $M$ 上的蚂蚁的状态；

• 位置$(\theta,y)$
• 速度$(A,B)$

当$\theta$增加$\pi$，$B,y$都变成负的，就回到原来的状态。
$$TM=\{(\theta,y,A\frac{d}{d\theta},B\frac{d}{dy})|\theta\in[0,\pi],y,A,B\in \mathbb{R}\}/(0,y,A,B)\sim(\pi,-y,A,-B).$$
可以看出，以下映射是连续的，逆映射也是连续的：
\begin{align*}f:TM&\to S^1\times\mathbb{R}\times\mathbb{C}\\(\theta,y,A,B)&\mapsto (\theta,A,e^{i\theta}(y+iB)).\end{align*}
因为$f(\theta+\pi,-y,A,-B)=f(\theta,y,A,B)$.

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想象一下蚂蚁穿越 Möbius 环。走了一圈后，蚂蚁回到起点，头朝下。

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$S^1$上蚂蚁的状态：

• 位置$\in S^1$
• 速度$\inR$

所以 Tangent bundle of $S^1$ is diffeomorphic to the cylinder $S^1\times\Bbb{R}$

考虑切向量组成的空间（如图）：
要取它们不相交的并集$\coprod_{p\in S^1}T_p$，因此把每个点$p\in S^1$处的$T_p$(一条直线)绕$p$旋转到竖直方向，就组成一个圆柱面（如图）：

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类似于Möbius带，可以考虑open annulus（因为Möbius带就是把open annulus剪开一个边缘然后旋转180度所形成的）。
Tangent bundle of open annulus is diffeomorphic to $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}^3$
Möbius带、open annulus两者的tangent bundle都是$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}^3$
也就是说，两个空间的tangent bundle diffeomorphic并不能推出这两个空间diffeomorphic

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以上是tangent bundle的理解。如何理解cotangent bundle？

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如何证明？