$𝔼[|X-Y|]$和$𝔼[|X+Y|]$

hbghlyj

类似于kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8080：
对任意实数 $x_1, \ldots, x_n$, 证明下述不等式成立:
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i-x_j|\leqslant\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n|x_i+x_j|$$

Czhang271828

既然提到期望, 那就用期望的方法解. 注意到 ($1$ 是 $(0,1)$ 示性函数)
$$
|X+Y|-|X-Y|=2\cdot (1_{\text{一, 三象限}}-1_{\text{二, 四象限}})\cdot \min(|X|,|Y|).
$$
第一象限内 $Z=\min\{|X|,|Y|\}$ 的条件期望:
$$
\int_0^\infty |\{Z>t\}|\operatorname dt=\int_0^\infty|\{X>t\}|\cdot |\{Y>y\}|\operatorname dt;
$$
第三象限内 $Z=\min\{|X|,|Y|\}$ 的条件期望:
$$
\int_0^\infty |\{Z>t\}|\operatorname dt=\int_0^\infty|\{X<-t\}|\cdot |\{Y<-y\}|\operatorname dt;
$$
第二象限内 $Z=\min\{|X|,|Y|\}$ 的条件期望:
$$
\int_0^\infty |\{Z>t\}|\operatorname dt=\int_0^\infty|\{X<-t\}|\cdot |\{Y>y\}|\operatorname dt;
$$
第四象限内 $Z=\min\{|X|,|Y|\}$ 的条件期望:
$$
\int_0^\infty |\{Z>t\}|\operatorname dt=\int_0^\infty|\{X>t\}|\cdot |\{Y<-y\}|\operatorname dt.
$$
积分式中 $|\{X>0\}|$ 与 $|\{Y>0\}|$ 无本质区别. 因此换元得
$$
\mathbb E[|X+Y|-|X-Y|]=\int_0^\infty (|\{X>t\}-\{X<-t\}|)^2\operatorname dt\geq 0.
$$

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-4-24 11:23
既然提到期望, 那就用期望的方法解. 注意到 ($1$ 是 $(0,1)$ 示性函数)

math.stackexchange.com/questions/1293727/
这是一个衍生问题，在 MSE 中已经 9 年没有人回答了

Let $c_i\in\mathbb R$, $a_i\geq0$ with $\sum_{i=1}^n a_i=1$, prove
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|c_i+c_j|a_ia_j\geq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|c_i-c_j|a_ia_j$$

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-10-6 16:33
math.stackexchange.com/questions/1293727/
这是一个衍生问题，在 MSE 中已经 9 年没有人回答了
...

如果将 $a=(a_1,\ldots, a_n)$ 视作列向量, 原问题等价于求证
\begin{equation}
B=(b_{i,j}=|c_i+c_j|-|c_i-c_j|)_{n\times n}
\end{equation}
是半定矩阵.

若 $c_ic_j\geq 0$, 则 $b_{i,j}=\min\{|c_i|,|c_j|\}$, 若 $c_ic_j\leq 0$, 则 $b_{i,j}=-\min\{|c_i|,|c_j|\}$.

假定 $|c_1|\leq |c_2|\leq \cdots \leq |c_n|$. 若所有 $c_i$ 为正, 则
$$
B=\begin{pmatrix}
c_1 & c_1 & c_1 & c_1 \\
c_1 & c_2 & c_2 & c_2 & \cdots\\
c_1 & c_2 & c_3 & c_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\
& \vdots & & & \ddots
\end{pmatrix}
$$
是半定的. 依照 $\det B=c_1(c_2-c_1)\cdots (c_n-c_{n-1})\geq 0$ 与主子式判别法即可.

若存在异号的 $c_i$ 与 $c_j$, 则异号区域是沿主对角线对称的两个区域. 依照 $\begin{pmatrix}S&P\\P^T&Q\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}S&-P\\-P^T&Q\end{pmatrix}$ (半) 正定性相同, 归纳地将矩阵变成各项非负的即可.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-10-6 10:40
$b_{i,j}=\min\{|c_i|,|c_j|\}$

这里省略了因子2吗？