请教一个期望问题

hjfmhh

一个盒子里有1个红球、m个绿球、n个黄球，共m+n+1个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停止，设拿出黄球的个数为x,则期望E(x)=？

kuing

搜索“概率/统计”类帖子进行分类时，发现这个帖无人回，试解一下。

不妨将拿球的方式作以下修改：
将所有球随机地从左到右排成一排，并规定拿球时从左边拿起。

显然这种拿法与原方式是等价的，于是问题就变成：
求在红球左边的黄球个数的期望。

下面计算：有 `x` 个黄球在红球左方的排列方法数。

这很简单：在 `m+n+1` 个位置上先选 `m` 个位置放绿球，剩下的空位放黄球和红球使之满足有 `x` 个黄球在红球左方，因此排列方法数就是 `C_{m+n+1}^m`。

这个数字与 `x` 无关，这意味着：
红球左方的黄球数无论是几，其发生的概率其实是一样的！

而 `x` 可以取 `0` 至 `n`，故此红球左边有 `x` 个黄球的概率都是 `1/(n+1)`，所以期望 `E(x)=(0+1+2+\dots+n)/(n+1)=n/2`。

kuing

kuing 发表于 2023-6-18 22:46
不妨将拿球的方式作以下修改：
将所有球随机地从左到右排成一排，并规定拿球时从左边拿起。

也可以这样解：设拿出黄球与绿球个数之和为 `y`，先求 `E(y)`。

随机排成一列时，由于红球等可能地出现在每一个位置上，所以在红球左方的球数 `y` 无论是几，其发生的概率都是一样的，而 `y` 可取 `0` 至 `m+n`，因此
\[E(y)=\frac{0+1+2+\dots+(m+n)}{m+n+1}=\frac{m+n}2,\]
而黄绿之比为 `n:m`，所以
\[E(x)=\frac n{m+n}E(y)=\frac n2.\]

hjfmhh

kuing 发表于 2023-6-18 23:02
也可以这样解：设拿出黄球与绿球个数之和为 `y`，先求 `E(y)`。

随机排成一列时，由于红球等可能地出现 ...

E(x)=n/(m+n)*E(y)，请教一下这是期望的什么性质