线段长度之和为1，求证存在直线使得线段在直线上的投影之和小$\frac{2}{\pi}$

abababa

设$S$是平面上有限多条线段构成的集合，$S$中的线段长度之和为$1$，求证存在直线$\ell$，使得$S$中的线段在$\ell$上的投影之和小于$\frac{2}{\pi}$。

kuing

S 是否可以改成长度为 1 的任意连续曲线？

Czhang271828

以下重叠处重复计数 (算是更强的命题).

给定一条长为 $1$ 的线段, 假定 $\theta\in [0,2\pi]$ 均匀分布, 则投影的期望是 $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\cos\theta|\operatorname dx=\frac{2}{\pi}$.

根据期望的线性性, 题中投影的期望已经是 $\frac{2}{\pi}$ 了. 只要说明投影可以取 $\mathbb R$ 中两个不同的数就行了.

这个 $\frac 2\pi$ 似乎是最佳的 (也就是 $\inf$ 意义下). 重叠情形下考虑割圆术, 不要求重叠的话平移就行: 只要两条固定长度的线段间最近点的距离 $d$ 足够大, 那么使得投影重叠的角度区间只会按照 $d^{-2}$ 量级减少).  

abababa

kuing 发表于 2024-7-10 16:37
S 是否可以改成长度为 1 的任意连续曲线？

就是对于投影线段的长度，直线段可以被端点限制住，连续曲线不行。但我也不知道到底有没有区别。感觉上如果用绝对值函数那样的折线代替连续曲线，要是角特别锐，在投影时会不会和其它线段的投影重叠呢？不过又有总长度为1的限制，那个角锐到什么程度也不好说。

abababa

Czhang271828 发表于 2024-7-10 17:21
以下重叠处重复计数 (算是更强的命题).

给定一条长为 $1$ 的线段, 假定 $\theta\in [0,2\pi]$ 均匀分布,  ...

我不怎么懂这个期望的，总长度为1，然后这个1是要按斜率均匀分布去分成各个小线段吗？

我的想法是把这些线段按斜率从小到大排序，然后依次连接，就能构成一条折线，还留下两个端点$A,B$，设$O$是$AB$的中点，把整个图形对$O$作中心对称，就会得到一个凸多边形，并且对称边和原边是一个平行线段组。设每个平行线段组中的平行线之间的距离为$d_1,d_2,\cdots,d_m$，取其中最小的那个为$d$，它所对应的平行线段组为$aa'$。这样的话$\odot(O,d/2)$一定和所有线段都不相交（相切不算相交），否则假设$\odot(O,d/2)$与边$k$交于点$P$，则点$P$关于$O$的中心对称点$P'$是$\odot(O,d/2)$与$k$的对应边$k'$的交点，显然$k,k'$的距离小于$PP'$，即小于$d$，这与$d$的取法矛盾。

然后取$\ell\perp aa'$，把所有的线段都向$\ell$上投影，我觉得这样得到的线段投影之和就小于$d$，但怎么证明我不知道。

如果能证明这样的投影之和小于$d$，那么因为$\odot(O,d/2)$的周长是$d\pi$，凸多边形的周长是$2$，凸多边形的面积大于圆的面积，周长一定的图形里圆的面积最小，所以有$d\pi<2$，就得到$d<\frac{2}{\pi}$了，再结合我没能证明的那个，就得到最终结论了。

战巡

abababa 发表于 2024-7-10 18:36
我不怎么懂这个期望的，总长度为1，然后这个1是要按斜率均匀分布去分成各个小线段吗？

我的想法是把这些 ...

不是这样的

3楼那个想法其实很简单的
假设你$S$为$n$段，长度分别为$l_1,l_2,...,l_n$，且$l_1+l_2+...+l_n=1$

那么令各段投影长度为$S_1,S_2,...,S_n$，都有期望为$E(S_k)=\frac{2}{\pi}l_k$，于是所有投影长度相加的期望即为
\[E(S_1+S_2+...+S_n)=E(S_1)+E(S_2)+...+E(S_n)=\frac{2}{\pi}(l_1+l_2+...+l_n)=\frac{2}{\pi}\]

这个做法到最后只需要证明，除非是正圆，否则其他折线或曲线无法实现投影恒等于$\frac{2}{\pi}$，而只要不是恒等，那就必然得存在小于$\frac{2}{\pi}$的情况

abababa

战巡 发表于 2024-7-10 19:59
不是这样的

3楼那个想法其实很简单的

原来如此，是单个线段的偏斜角度。谢谢。

abababa

abababa 发表于 2024-7-10 18:36
我不怎么懂这个期望的，总长度为1，然后这个1是要按斜率均匀分布去分成各个小线段吗？

我的想法是把这些 ...

这个我也有点想明白了，先把线段$a$的两个端点记为$A_1,A_2$，把$a'$的两个端点记为$A_1',A_2'$，然后看与$a$相连的线段的投影，如果这个投影在$a,a'$的投影（因为垂直所以这两条线段的投影是点）里面，则把这一侧的线段称为$a$的左侧，把另一侧称为$a$的右侧。然后把$a$右侧的线段全对应到与$a'$相连的那些线段，这样投影之和保持不变。对应之后所得的新折线$L$仍是凸多边形的一部分，并且两个端点的投影是点$H,H'$，所以其它部分的投影都在$HH'$之内，并且因为折线$L$首尾相连，所以投影恰好就连成了$HH'=d$，即所有线段的投影之和等于$d$，小于$\frac{2}{\pi}$。