一道概率问题

AK007

小明同学参与投圈游戏，一共有 4 个圈，投中奖品即停止．若每个圈投中的概率独立且均为 $\frac{1}{5}$ ，则当小明同学投中奖品时，投圈次数 $X$ 的期望是
答案是821/625吗

kuing

照片拍不完整，最右边应该还有字，还是很关键的字，到底投字后面是“中”，还是“不中”？😅

AK007

kuing 发表于 2024-2-22 17:28
照片拍不完整，最右边应该还有字，还是很关键的字，到底投字后面是“中”，还是“不中”？😅 ...

投中

kuing

如果一共投了 k 次，那就是前 k-1 次不中，最后一次中，概率为 `(4/5)^{k-1}\cdot1/5`。

有 4 个圈那就是 k 可以取 1~4，期望就是
\[EX=\sum_{k=1}^4k\left( \frac45 \right)^{k-1}\frac15,\]
算出来结果确实是 821/625。

AK007

kuing 发表于 2024-2-22 17:42
如果一共投了 k 次，那就是前 k-1 次不中，最后一次中，概率为 `(4/5)^{k-1}\cdot1/5`。

有 4 个圈那就是  ...

X服从几何分布

kuing

kuing 发表于 2024-2-22 17:42
如果一共投了 k 次，那就是前 k-1 次不中，最后一次中，概率为 `(4/5)^{k-1}\cdot1/5`。

有 4 个圈那就是  ...

忽然觉得 4# 的算法似乎不对……

如果改成问：则当小明最终没拿到奖品时，投圈次数 X 的期望是？

要是按 4# 的算法，就是 `4\cdot(4/5)^4`。

可是没拿到奖品一定是 X=4，还用期望吗？

kuing

“则当小明同学投中奖品时，投圈次数 `X` 的期望是____”
前半句是大前提，那算概率时是否应该为条件概率？

如果是这样，那在考虑 `X=k` 时，应该是算 `P(A|B)`，其中 `A` 为投 `k` 次中奖，`B` 为中奖，由于这里 `A\subset B`，所以 `P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)/P(B)`，因此 4# 的 `EX` 的每一项都应该除以一个 `P(B)`，而 `P(B)=1-(4/5)^4=369/625`，所以答案应该是 821/369？

AK007

kuing 发表于 2024-2-22 22:13
“则当小明同学投中奖品时，投圈次数 `X` 的期望是____”
前半句是大前提，那算概率时是否应该为条件概率？ ...

是821/369，还是要用条件概率算

kuing

AK007 发表于 2024-2-23 20:48
是821/369，还是要用条件概率算

嗯，我对概统也不熟，差点误人子弟了

AK007

kuing 发表于 2024-2-23 23:55
嗯，我对概统也不熟，差点误人子弟了