期望问题

hjfmhh

某校为了提高教师身心健康，号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有 4 名男教师， 2 名女教师报名，本周随机选取 2 人参加．
（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
（2）记参加活动的女教师人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E(X)$ ；
（3）若本次活动有慢跑，游泳，瑜伽三个可选项目，每人都需要参加项目，每名女教师至多从中选择 2 个项目参加，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为 $\frac{1}{2}$，每名男教师至少从中选择 2 个项目参加，且选择参加 2 项或 3 项的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ，每人每参加 1 个项目可获得＂体育明星＂积分 3 分，选择参加几个项目彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为 $Y$ ，求 $Y$ 的数学期望 $E(Y)$．

---

（2）依题意知 $X$ 服从超几何分布，且
\[
\begin{aligned}
& P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_2^k \mathrm{C}_4^{2-k}}{\mathrm{C}_6^2}(k=0,1,2), P(X=0)=\frac{\mathrm{C}_4^2}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{2}{5}, \\
& P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_4^1 \mathrm{C}_2^1}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{8}{15}, P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_2^2}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{1}{15},
\end{aligned}
\]
所以 $X$ 的分布列为
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline X & 0 & 1 & 2 \\
\hline P & \frac{2}{5} & \frac{8}{15} & \frac{1}{15} \\
\hline
\end{array}$E(X)=0 \times \frac{2}{5}+1 \times \frac{8}{15}+2 \times \frac{1}{15}=\frac{2}{3}$.
（3）设一名女教师参加活动可获得分数为 $X_1$，一名男教师参加活动可获得分数为 $X_2$ ，则 $X_1$ 的所有可能取值为 $3,6, X_2$ 的所有可能取值为 $6,9$，$P(X_1=3)=P\left(X_1=6\right)=\frac{1}{2}, E\left(X_1\right)=3 \times \frac{1}{2}+6 \times \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$ ， $P\left(X_2=6\right)=P\left(X_2=9\right)=\frac{1}{2}, E\left(X_2\right)=6 \times \frac{1}{2}+9 \times$ $\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$ ．
有 $X$ 名女教师参加活动，则有 $2-X$ 名男教师参加活动，故 $Y=\frac{9}{2} X+\frac{15}{2}(2-X)=15-3 X$ ，所以 $E(Y)=E(15-3 X)=15-3 E(X)=15-3 \times \frac{2}{3}=13$ ．

---

这道期望问题先求每名女生和每名男生的期望，为什么随机选取的两人得分之和Y表示为9/2X+15/2(2-X)?看着显然，怎么理解？我第一眼理解是先写出Y的所有可能取值，再求对应的概率，最后求E(Y).

hjfmhh

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Y & 6 & 9 & 12 & 12 & 15 & 18 & 9 & 12 & 12 & 15 \\
\hline &女1女1&女1女2&女2女2&男2男2&男2男3&男3男3&女1男2&女1男3&女2男2&女2男3\\
P&
\frac{C_2^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_2^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 &
\frac{C_2^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot2&
\frac{C_4^2}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} &
\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
&
\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} \times 2 &
\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} \times 2 &
\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} &
\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}\begin{aligned}
E(Y) & =\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} \times 6+\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} \times 2 \times 9+\frac{1}{15} \times \frac{1}{4} \times 12+\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} \times 12+\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} \times 2 \times 15+\frac{6}{15} \times \frac{1}{4} \times 18+\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} \times 9 \\
& +\frac{8}{15} \times \frac{1}{16} \times 12+\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} \times 12+\frac{8}{15} \times \frac{1}{4} \times 15 \\
& =\frac{260}{20}=13
\end{aligned}一开始我是这样想的，先求了Y的所有可能取值和对应的概率，求出期望的。这个跟所给答案之间是否有联系？

战巡

它结果是对的，但说法是错的

实际是
\[E(Y|X)=\frac{9}{2}X+\frac{15}{2}(2-X)=15-3X\]
而后
\[E(Y)=E[E(Y|X)]=E(15-3X)=...\]