矩形 最小值

hbghlyj

矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边上一动点,C与C'关于AE对称,在AE上取F,使$\angle ABF=\angle C'BC$,则BE+AF的最小值为?

Aluminiumor

建系 $A(0,4)$ $B(0,0)$ $C(6,0)$ $D(6,4)$
设 $BE=a$ $(0<a<6)$ 则 $E(a,0)$

$AE:y=-\dfrac4ax+4$ 可求得 $C'\left(\dfrac{6a^2+32a-96}{a^2+16},\dfrac{8a(a-6)}{a^2+16}\right)$

所以 $k_{BC'}=\dfrac{4a(6-a)}{3a^2+16a-48}$  故 $BF:y=\dfrac{3a^2+16a-48}{4a(6-a)}x$ 可得 $x_{F}=\dfrac{16a(6-a)}{3a^2+48}$
$$BE+AF=a+\sqrt{1+\frac{16}{a^2}}\cdot\frac{16a(6-a)}{3a^2+48}$$
其最小值为 $729 x^6-73872 x^4+2239488 x^3-2979072 x^2-262766592 x+1245483008$ 的一根.约为 $5.823389$.