一族等差数列覆盖了整数集，则存在子集使得公差倒数之和为正整数

hbghlyj

设有一族等差数列 $(a_i + b_i \mathbb{Z})_{i=1}^n$ 覆盖了 $\mathbb{Z}$，即 $\bigcup_{i=1}^n (a_i + b_i \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$。证明存在子集 $I \subset \{1,2,\ldots,n\}$，使得
$$
\sum_{i \in I} \frac{1}{b_i}
$$
是一个正整数。

hbghlyj

设 $L = \mathrm{lcm}(b_1, b_2, \ldots, b_n)$。考虑以下和：
$$
S = \sum_{j=0}^{L-1} \prod_{i=1}^n \left(1 - e^{2\pi i \frac{j-a_i}{b_i}}\right)
$$
由于覆盖性质，对于每个 $j$，存在 $k$ 使得 $j \equiv a_k \pmod{b_k}$，从而对应因子为 $0$，故 $S=0$。

展开乘积：
$$
S = \sum_{I \subseteq \{1,\ldots,n\}} (-1)^{|I|} \left(\prod_{i \in I} e^{-2\pi i \frac{a_i}{b_i}}\right) \left(\sum_{j=0}^{L-1} e^{2\pi i j \sum_{i \in I} \frac{1}{b_i}}\right)
$$
内部求和：设 $\sigma_I = \sum_{i \in I} \frac{1}{b_i}$，若 $\sigma_I \in \mathbb{Z}$ 则为 $L$，否则为 $0$。

于是：
$$
0 = S = L \sum_{\sigma_I \in \mathbb{Z}} (-1)^{|I|} e^{-2\pi i \sum_{i \in I} \frac{a_i}{b_i}}
$$
分离空集项（贡献 $L$），除以 $L$ 得：
$$
1 + \sum_{I \neq \emptyset, \sigma_I \in \mathbb{Z}} (-1)^{|I|} e^{-2\pi i \sum_{i \in I} \frac{a_i}{b_i}} = 0
$$
若无非空 $I$ 满足 $\sigma_I \in \mathbb{Z}$，则 $1=0$，矛盾。故存在这样的非空 $I$，且 $\sum_{i \in I} \frac{1}{b_i}$ 为正整数。