4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，有多少方法？

踏歌而来

经常容易搞错的排列组合题目：

01、把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，有多少方法？
02、把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

03、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
04、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

还有以下几种：
05、把5个不同的小球，放入4个不同的盒子中，有多少方法？
06、把5个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

07、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
08、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

另有以下几种：
09、把4个不同的小球，放入5个不同的盒子中，有多少方法？
10、把4个不同的小球，放入5个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

11、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，有多少方法？
12、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

这类问题涉及的是相同与不同，等与不等的问题。
这样几个题目，提问的很多，答案也五花八门。

请大家一起来探讨它们的正确答案吧！

踏歌而来

做了下01、05、09号题，可能都没有问题，02题有点拿不准。

01 一开始算，只算出 4*3*2*1=24，最后才注意到，不是放过球的盒子里就不能再放球了，每次放球是独立的，因此，调整为4*4*4*4=256。05 的方法为 4*4*4*4*4=1024， 06的方法是5*5*5*5=625。

02  从4个盒子中取出一种作空盒，C(4,1)=4，剩下的问题就是把4个球放入3个盒子中，我想到了先把这4个不同的球进行全排列，然后，再把这每一种排列的球，在4个球之间的3个空当中插入两个隔板，将4球隔开成3部分，然后，分装3个盒子。这样，就是A(4,4)*C(3,2）。总的方法就是C(4,1)*A(4,4)*C(3,2)=288。
    如果先把球分成1、1、2，然后把2个球捆绑在一起形成3堆球，与3个盒子相联系，就是A(3,3)。结果就是C(4,1)*C(4,2)*A(3,3)=144。
    为什么这两种方式算出来的结果会不同呢？我更倾向与第一种。如果第一种计算是错误的，错误的原因在哪里？请大师们指教！

kuing

参考链接 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=190

踏歌而来

谢谢Kuing！

  我找了一下网上的资料，筛选了两个与02直接相关的答案。

  4个不同小球放入编号1,2,3,4的4个盒子,则恰有一个空盒的方法有几种?
   由题意，第一步先选一个不放球的盒子有4种情况，
  第二步在放球的3个盒子中选一个用来放两个球有3种情况，
  第三步在四个球中选2个放进第二步选中的盒子中有C42=6种情况，
  第四步把剩下的两个球放进剩下的两个盒子里，一个盒子一个球有2种情况
  所以放法总数为4×3×6×2=144
   故答案为：144．
  mofangge.com/html/qDetail/02/g0/201310/67rig002327339.html

   考点：排列组合
  解：显然，其中一个盒子一定有两个球
  先在4个球中取两个球，有c（4 2）=6种可能
  把这两个球看成整体，那么问题可以转化成3个球放入4个盒的排列，即A（4 3）=24
   所以共有6*24=144种可能
   ask.newclasses.org/Detail_74197.aspx

踏歌而来

06题  把5个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

解一：
先选出一个盒子做作为空盒，有4种；那么剩下就将5个不同的球放入3个不同的盒子，而且每个盒子至少有一个球。
每个盒子至少有一个球的排法共有：
①如果是1＋1＋3的放法，则有：C(3,5)×A(3,3)=60种；
②如果是1＋2＋2的放法，则有：3×C(2,5)×C(2,3)=90种则总共有150种；
综上：把五个不同的小球放入四个不同的盒子中且恰有一个空盒的方法有4*150=600

http://zhidao.baidu.com/link?url=cTaG36ywjW3JJ3QkVYNK994FakYxZFQUFKCA4GmvNjXI8I_jrFucLrGxsda-ZyB9dPAwuVzYbwhjkQsHNJCGRw7HKQ3yhl82zIoOnS3cZqi

解二：
\begin{aligned}
& C_4^1 \cdot A_3^3\left(\frac{C_5^1 \cdot C_4^1 C_3^3}{2}+\frac{C_5^2 C_3^1 C_2^2}{2}\right) \\
& =4 \times 3 \times 2 \frac{(5 \times 4+3 \times 10)}{2} \\
& =12 \times 50 \\
& =600
\end{aligned}

解释一下：
第一个式子是：先选出一个空盒子
第二个式子是：剩余三个不同的盒子排序
括号第一项是三个盒子每个盒子分辨是1,1,3个球，因为有两个是重复的所以要除以2
括号第二项是三个盒子每个盒子分别时1,2,2个球，同样因为有两个是重复的所以要除以2


http://zhidao.baidu.com/link?url=lQ_YVxscAEz-bi1IJSw_42bnQvXvkDWLJfa4y3X6F2u8z51BQuCzU4JP6qPl4aknv-3BNo_I4J-Gz0kYlwfNBa

我用 3个不同的小球 放入 3个不同的盒子，恰有一个空盒子的实例进行了验证。
手工验证，这种情况共 18种。
选出一个空盒子，C(3,1)=3。
3个球任取2个球是C(3,2)=3，将2个球放入一个盒子中，另一个盒子放一个球，有两种情况，这一步共有3*2=6种情况。
共有3种不同的空盒子，所以有3*6=18种情况。

然后用解法二的方式计算，C(3,1)*A(2,2)*C(3,2)*C(1,1)=18种情况。

用解法二的方式，推断02题 把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？
C(4,1)*A(3,3)*C(4,2)*C(2,1)*C(1,1)/2=144种方法。

踏歌而来

10、把4个不同的小球，放入5个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

      按照楼上的方法二来解：C(5,1)*A(4,4)*C(4,1)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)/4!=120种方法。

      这个网上没有相关资料，数量大，也无法进行手工验证，但应该是对的。

      综合以上资料，我发现楼上的方法二具有通用性，可以解答02、06、10的问题，
      1楼上的方法二只适合02这一种情况。

      如果问：把5个不同的球，放入5个不同的盒子，恰有一个盒子是空盒的方法有多少？

      解法一：C(5,1)*A(4,4)*C(5,2)*C(3,1)*C(2,1)*C(1,1)/3!=1200个。

      解法二：C(5,1)*C(5,2)*A(4,4)=1200个。

      另外，刚才还发现了针对02种情况的一个公式，其实就是我在1楼的第二种方法，早上我还
对它抱持怀疑态度，当然现在不用怀疑了，我手工验证过，并且这里又得到印证。
      http://www.tikubaba.com/68593670667602.html

踏歌而来

刚才用 “2个不同的小球，放入3个不同的盒子中，恰有一个空盒子”进行了手工验证。

选定空盒子 C(3,1)=3。
不同的球编号为1、2，不同的盒子编号为Ⅰ、Ⅱ。
这样，球与盒子的结合方式就是1Ⅰ、1Ⅱ、2Ⅰ、2Ⅱ四种方式，
而1Ⅰ、2Ⅱ是同一种方式，1Ⅱ与2Ⅰ也是同一种方式，
所以，实际上就2种方式。
同3个不同的空盒子结合，就是3*2=6种方式。

我们用 前面给定的一个思路来计算：
C(3,1)*A(2,2)*C(2,1)*C(1,1)/2!=6种方式。

剩余的问题就是03、04、07、08、11、12六道题了。

tommywong

那六题用多项式模拟是这样的
01
$(a+b+c+d)^4$所有系数,$4^4=256$
02
$(a+b+c+d)^4:(2,1,1,0)$,$C_4^1C_3^1C_2^2\frac{4!}{2!1!1!}=144$
05
$(a+b+c+d)^5$所有系数,$4^5=1024$
06
$(a+b+c+d)^5:(3,1,1,0),(2,2,1,0)$,$C_4^1C_3^1C_2^2\frac{5!}{3!1!1!}+C_4^1C_3^1C_2^2\frac{5!}{2!2!1!}=600$
09
$(a+b+c+d+e)^4$所有系数,$5^4=625$
10
$(a+b+c+d+e)^4:(1,1,1,1,0)$,$C_5^1C_4^4\frac{4!}{1!1!1!1!}=120$

tommywong

整數分拆很烦，先枚举
03
a,b,c,d为非负整数，a+b+c+d=4
0+0+0+4
0+0+1+3
0+1+1+2
1+1+1+1
0+0+2+2
04
a,b,c,d为非负整数，a+b+c+d=4,有一个等于0
0+1+1+2
07
a,b,c,d为非负整数，a+b+c+d=5
0+0+0+5
0+0+1+4
0+1+1+3
1+1+1+2
0+0+2+3
0+1+2+2
0+0+2+3
08
a,b,c,d为非负整数，a+b+c+d=5,有一个等于0
0+1+1+3
0+1+2+2
11
a,b,c,d,e为非负整数，a+b+c+d+e=4
0+0+0+0+4
0+0+0+1+3
0+0+1+1+2
0+1+1+1+1
0+0+0+2+2
12
a,b,c,d,e为非负整数，a+b+c+d+e=4,有一个等于0
0+1+1+1+1

踏歌而来

回复 9# tommywong

干得漂亮！
有空时，我再把剩余的6种情况补齐。

踏歌而来

关于07 在下面的网页中有讨论，但没有得到答案。如果盒子不同，当然就可以简单地用插板法。
http://bbs.qzzn.com/read-htm-tid-12416707-page-2.html#tabA

http://ask.newclasses.org/Detail_9055.aspx

踏歌而来

03、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
04、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？


07、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
08、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？


11、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，有多少方法？
12、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

针对这些特例，我们很容易得出结论：

03、  1种。
04、  1种。
07、  1种。
08、  2种。即1+2+2,3+1+1两种。
11、  0种。
12、  1种。

如果有人问：10个相同的球装入4个相同的盒子的装法有多少？
这个就有点难了。

经过反复排列，发现只有1117、1126、1135、1144、1225、1234、1333七种情况。

走走看看

回复 12# 踏歌而来

10个相同的球装入4个相同的盒子的装法有多少？

算错了。
应该是1117、1126、1135、1225、1144、1234、2224、1333、2233共9种情况。
先排111+最大数，然后调整即可得到以上数字。

走走看看

回复 13# 走走看看


    四个相同的小球放入4个不同的盒中一共有多少种不同的方法？

    如果每个盒子不空，就是1种。

    如果允许空盒子，分四种情况：

    一个盒子里装4个球，有4种。

    两个盒子装4个，C(4,2)取盒子，球按（1,3）和（2,2）分组。（1,3）两种方法，（2,2）一种方法，所以C(4,2)*3=18种。

    三个盒子装，取盒子C(4,3)，球按（1,1,2）分装，三种，计C(4,3)*3=12种。

    四个盒子装，只有一种。

    总计：4+18+12+1=35种。

    到了这里，忽然想到，可以用C(7,3)表示。

    这里证明Kuing转录的表格的5、6两种情况是对的。 但初步发现表格中的2的方案数是错的。

走走看看

回复 14# 走走看看

准备逐一验证那个表格。

4个不同的小球，放入3个不同的盒子，盒子不为空，有几种方法？

显然属于无序分配，需要把4个小球分成三部分，而后让它们全排列。
4个球只能分成1、1、2三个部分，从4个球中拿出2个球，C(4,2)=6种。
或者C(4,1)C(3,1)C(2,2)/2!=6种。

总的方法数：C(4,2)A(3,3)=36种。
按照表中的2行所给的方案数则是  C(4,3)A(3,3)=24种。
为什么会这样呢？
原来，表中的意思是，4个球中只有3个球得到安排，另一个球丢掉。
因此，表中的2行的方案数是错误的。

这个问题是从 1楼的 02中抽取出来的：
02、把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？
先从4个不同的盒子中抽取一种，C(4,1)。
然后就是 C(4,1)*C(4,2)*A(3,3)=144 种。

走走看看

回复 15# 走走看看

补充一例：

4个不同的小球，放入3个相同的盒子里，允许空盒子。问有多少种方法？

如果4个球都放入到一个盒子中，1种方法。

如果4个球放入到两个盒子中，只能把球分成1、3或者2、2，这样C（4，1）+C（4，2）C(2,2)/2!=7种方法。

如果4个球放入到三个盒子中，只能先把球分成1、1、2，有C(4,2)=6种方法。

所以 总共是14种方法。

按照表中第3行计算，  C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)=14 种，因此表中的3行可能是正确的。

再以下例验证：
5个不同的小球，放入4个相同的盒子里，允许空盒子。问有多少种方法？
放入1个盒子，1种
放入2个盒子，2、3与1、4两组，分别是C(5,2)+C(5,1)=15种
放入3个盒子，1、1、3与1、2、2两组，分别是C(5,3)+C(5,2)C(3,2)/2=25种
放入4个盒子，1、1、1、2一组，是C(5,2)=10种
总共51种。
根据表中的3行计算，C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)=30种，因此表中的3行也是错误的。

4个不同的小球，放入3个相同的盒子里，不允许空盒子。问有多少种方法？

把球分成1、1、2个，有C（4，2）种，盒子没有区别，所以 总共有C（4，2）=6种。
按照表中第4行计算，C（4，3）=4种，因此表中的4行是错误的。

走走看看

回复 16# 走走看看

03、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
07、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
   
盒子都不为空。
03、显然1种。
04、5个球分成1、1、1、2，也是1种。
分别不等于P（4，4），P（5，4）。
因此表中的8行的答案是错的。

走走看看

04、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？
08、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

04、4个相同的球放入3个相同的盒子中，把球分为1、1、2个，1种情况，方案数为1。
08、5个相同的球放入3个相同的盒子中，把球分为1、1、3或1、2、2两种情况，盒子同，方案数为2。

为了同表中的条件完全相同，补充以下两道题：
04新、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，允许有空盒，有多少方法？
08新、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，允许有空盒，有多少方法？

04新的分布情况：
0+0+0+4
0+0+1+3
0+0+2+2
0+1+1+2
1+1+1+1
总计：5种。

08新的分布情况：
0+0+0+5
0+0+1+4
0+0+2+3
0+1+1+3
0+1+2+2
1+1+1+2
总计：6种。
根据表中的第7行运算，04新 为P(4,1)+P(4,2)+P(4,3)+P(4,4)，08新为P(5,1)+P(5,2)+P(5,3)+P(5,4)。显然都错误。

走走看看

回复 18# 走走看看

Kuing大师转来的表格中的1、5、6正确，其他都错。

走走看看

回复 19# 走走看看

把楼主的1-12题的答案集中写在一处：
01、把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，有多少方法？
02、把4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

03、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
04、把4个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

还有以下几种：
05、把5个不同的小球，放入4个不同的盒子中，有多少方法？
06、把5个不同的小球，放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

07、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，有多少方法？
08、把5个相同的小球，放入4个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

另有以下几种：
09、把4个不同的小球，放入5个不同的盒子中，有多少方法？
10、把4个不同的小球，放入5个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

11、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，有多少方法？
12、把4个相同的小球，放入5个相同的盒子中，恰有一个空盒，有多少方法？

答案：
01   A(4,4)(盒子不空)                                           256(盒子可空）
02  C(4,1)C(4,2)A(3,3)=144                                 144
03   1(盒子不空)                                                  5(盒子可空)
04   1                                                               1
05   C(5,2)A(4,4)=240(盒子不空)                           1024(盒子可空)
06   C(4,1)(C(5,3)+C(5,3)C(3,2)/2!)A(3,3)=600      同左
07   1(盒子不空)                                                  6(盒子可空)
08   2                                                               2
09   0(盒子不空)                                                  625(盒子可空)
10   C(5,1)A(4,4)=120                                        120
11   0(盒子不空)                                                  5(盒子可空)
12   1                                                                1

07的计算，重复了一种，0+0+2+3重复了一次。