$-\log(\log(1-x))$在$1-e$的各阶导数的渐近估计

hbghlyj

$f(x)=-\log\log(1-x)$在$x=1-e$的$n$阶导数的$e^n$倍是正整数:

1. Table[Derivative[n][Function[x,-Log[Log[1-x]]]][1-E]E^n,{n,1,10}]

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在Mathematica中, 逐阶计算导数不如计算级数展开速度快. 上述代码可以改进为

1. Series[-Log[Log[1-x]],{x,1-E,10}][[3]]Exp[Range[10]]Factorial[Range[10]]

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计算结果
\[1,2,7,35,228,1834,17582,195866,2487832,35499576\]
如何得到它的渐近估计呢? 可以先通过奇点算出级数收敛半径, 再使用 Cauchy-Hadamard formula
$x=0$是$-\log(\log(1-x))$的奇点[因为$\log1=0$是外层$\log$的奇点]
所以$f(x)$在$x=1-e$的级数收敛半径是$e-1$
所以$\frac{f^{(n)}(1-e)}{n!}\sim\frac1{(e-1)^n}$
所以$f^{(n)}(1-e)\sim\frac{n!}{(e-1)^n}$
所以$$a_n=e^nf^{(n)}(1-e)\sim n!\left(\frac{e}{e-1}\right)^n\tag1$$

hbghlyj

\[0, 1, 2, 7, 35, 228, 1834, 17582, 195866, 2487832, 35499576\]
Expansion of e.g.f. $\log\left(1\over1+\log(1-x)\right)$.
A003713
$$a_0 = 0;\quad a_n = (n-1)! + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n-1}k(k-1)! a_{n-k}$$
$$\sum_{k=1}^n (k-1)!\left|\text{Stirling1}(n, k)\right|$$
$$a_n \sim (n-1)!\left(e\over e-1\right)^n\tag2$$

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1. series=Series[-Log[Log[1-x]],{x,1-E,50}][[3]];{a49,a50}=series[[49;;50]]Exp[{49,50}];
2. {N[E/(E-1)],N[a50/a49]}
3. {N[E/(E-1)],N[a50/a49 50/49]}

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由(1)式得到的估计是 1.58198, 1.55034
由(2)式得到的估计是 1.58198, 1.58198
可见, (2)式是比(1)式更精确的估计. 它是怎么得到的呢