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本帖最后由 ellipse 于 2020-7-8 22:08 编辑 $(2+c)x+5c^2y=1$恒与某个双曲线H相切，求H的方程
解：c=1时直线方程为3x+5y=1,当c趋于1时直线$(2+c)x+5c^2y=1$与3x+5y=1的交点的极限就是3x+5y=1与曲线的切点,求出来是$(\frac25,-\frac1{25})$.
为求出一条与3x+5y=1平行的直线,从$(2+c):3=5c^2:5$解得c=$-\frac23$,这条直线是3x+5y=$\frac94$,所以直线3x+5y=$\frac{13}8$经过中心
同理取$c=-1$又得一个切点$(\frac23,\frac1{15})$,且直线x+5y$=\frac58$也经过中心,联立解得曲线的中心为$(\frac1{40},\frac54)$
把所给的直线方程变形为$\frac{2+c}{5c^2}x+y=\frac1{5c^2}$,所以c趋于∞时y=0是曲线的一条切线,将y=0与$(2+c)x+5c^2y=1$联立解得第三个切点$(0,0)$
设曲线方程为$A(x-\frac1{40})^2+B(x-\frac1{40})(y-\frac54)+C(y-\frac54)^2=1$,其中A,B,C为待定系数,代入三个切点的坐标解得曲线的方程为\[x^2-40xy+20y=0\] |
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