求解 `f(f(x))=-x^3+x^2+1`

isee

是否存在实轴上的可微函数`f(x)`满足条件`f(f(x)=-x^3+x^2+1`？

源自知乎问答

两个疑问：
1 什么是实轴上可微？
2 链接中的解法是否具有一般性？   （楼下第5链接，本楼求导更快）
3 还有别的解法么？

thx

isee

汇一下，先，论坛有的

1    来自人教群的 f(f(x))=1/x

2    这个解法不会有问题吧？2楼 f(f(x))=x 的解就相当于求把f(x)图像横过来再和自己的交点

3    AIME2018试题 的 第10题 Find the number of functions $f(x)$ from {1,2,3,4,5} to {1,2,3,4,5} that satisfy $f(f(x))= f(f(f(x)))$ for all $x$ in {1,2,3,4,5}.

4    不动点  初等的
   
5    函数 f(f(x))=ax2+bx+c 的问题，可惜 matrix67 链接已经挂了（原来18#自己找过资料，果然是不常用就忘光光）


6    连续函数f:R→R满足f(f(f(f(x))))=kx^{81}∀x∈R,求证k≥0    10楼第一题，同一问题（函数迭代问题）

7    SOP5——f(f(x))=1/2(x^2−x)f(x)+2−x