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数学天书中的证明（第三版）第18章
设多项式$p(x)$的根均为实数, 且$p(x)$不恒为零.
事实 1. 如果 \( b \) 是 \( p^{\prime}(x) \) 的重根, 则 \( b \) 也是 \( p(x) \) 的根.
证明. 令 \( b_1<\cdots<b_r \) 是 \( p(x) \) 重数为 \( s_1, \cdots, s_r\) 的根, \(\sum_{j=1}^r s_j=n \).
i. 根据 \( p(x)=\left(x-b_j\right)^{s_j} h(x) \), 如果 \( s_j \geqslant 2\), \(b_j \) 是 \( p^{\prime}(x) \) 的根, 且 \( b_j \) 是 \( p^{\prime}(x) \) 的重数为 \( s_j-1 \) 的根.
ii. 根据罗尔定理, 在区间 \( [b_1,b_2],[b_2,b_3],\cdots,[b_{r-1},b_r] \) 上各存在 \( p^{\prime}(x) \) 的一个根, 它们显然是不同的.
因为 \( \sum_{j=1}^r\left(s_j-1\right)+(r-1) \) 已经是 \( p^{\prime}(x) \) 的次数 \( n-1 \) 了, 所以出现在ii. 中的都是单根. 故 \( p^{\prime}(x) \) 的重根只能出现在i. 中, 即为 \( p(x) \) 的根.
事实 2. 对于任意 \( x \in \mathbb{R} \) 我们有 \(\bigl(\log p(x)\bigr)''>0\) 即 \( p^{\prime}(x)^2 \geqslant p(x) p^{\prime \prime}(x) \).
证明. 如果 \( x=a_i \) 是 \( p(x) \) 的一个根, 则上述不等式为 $p'(x)^2\geqslant0$. 假设 \( x \) 不是根, 由求导准则得到:
\[\frac{p^{\prime}(x)}{p(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-a_k} .
\]
再次求导得到:
\[
\frac{p^{\prime \prime}(x) p(x)-p^{\prime}(x)^2}{p(x)^2}=-\sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(x-a_k\right)^2}<0 .
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