连续函数f在[a,b]上和x的各个幂次乘积的积分都是零，那么f在(a,b)内至少有n+1个零点

IkeJay

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $\int_{a}^{b}f(x)\rmd x=\int_a^bf(x)x\rmd x=\dots=\int_a^bf(x)x^n\rmd x=0$，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上至少存在$n+1$ 个零点.

abababa

回复 1# IkeJay

$f(x)=x$在$[-1/2,1]$上连续，并且当$n=1$时满足
\[\int_{-1/2}^{1}f(x)dx=\int_{-1/2}^{1}f(x) \cdot x^1dx=\frac{3}{8}\]
但是$f(x)$在$(-1/2,1)$上没有$n+1=2$个零点。题目是不是有问题？

IkeJay

回复 2# abababa
不好意思哈哈，我修改下题目，还要等于0

abababa

回复 3# IkeJay

那你看看是不是这个证明，这是以前maven网友证明的，他还要求$a\neq b$。
证明 上帝说要有中值，于是就有了中值 $\eta \in(a, b)$ 使得
\[
(b-a) f(\eta)=\int_a^b f(x) d x=0
\]
而 $b-a \neq 0$ ，所以 $f(\eta)=0$ 。令 $F(x)=\int_a^x f(t) d t$ ，则有 $F'(x)=f(x)$ ，显然有 $F(a)=F(b)=0$ ，而
\[
0=\int_a^b x f(x) d x=\int_a^b x F'(x) d x=[b F(b)-a F(a)]-\int_a^b F(x) d x=-\int_a^b F(x) d x
\]
上帝看中值是好的，于是再次使用中值，存在 $\xi \in(a, b)$ 使得
\[
(b-a) F(\xi)=\int_a^b F(x) d x=0
\]
所以 $F(\xi)=0$ ，现在有了 $F(a)=F(\xi)=F(b)=0$ ，由 Rolle，存在 $\xi_1 \in(a, \xi)$ 使得 $F'\left(\xi_1\right)=0$ ，还存在 $\xi_2 \in(\xi, b)$ 使得 $F'\left(\xi_2\right)=0$ ，即 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$ 。这说明当 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足
\[
\int_a^b f(x) d x=\int_a^b x f(x) d x=0
\]
时，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上至少有两个零点。由于
\[
0=\int_a^b x^2 f(x) d x=\int_a^b x^2 F'(x) d x=\left[x^2 F(x)\right]_a ^b-2 \int_a^b x F(x) d x=-2 \int_a^b x F(x) d x
\]
所以在 $[a, b]$ 上的连续函数 $F(x)$ 满足
\[
\int_a^b F(x) d x=\int_a^b x F(x) d x=0
\]
根据前述证明知 $F(x)$ 在 $(a, b)$ 上至少有两个零点，这两零点将区间 $(a, b)$ 分成三部分，在每部分上使用 Rolle，存在 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 使得 $F'\left(\xi_1\right)=F'\left(\xi_2\right)=F'\left(\xi_3\right)=0$ ，也就是 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=f\left(\xi_3\right)=0$ 。 这说明当 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足
\[
\int_a^b f(x) d x=\int_a^b x f(x) d x=\int_a^b x^2 f(x)=0
\]
时，$f(x)$ 在 $(a, b)$ 上至少有三个零点。继续操作直到 $x^n F'(x)$ 的积分，因为 $F(x)$ 满足
\[
\int_a^b F(x) d x=\int_a^b x F(x) d x=\cdots=\int_a^b x^{n-1} F(x) d x
\]
根据前述证明知 $F(x)$ 在 $(a, b)$ 上至少有 $n-1$ 个零点，这些零点将区间 $(a, b)$ 分成 $n$ 部分，在每部分中使用 Rolle，就得到 $f(x)$ 有 $n$ 个零点。