用有理度角的sin/cos和有理数写出

hbghlyj

这些根据这帖都能用有理度角的sin/cos和有理数写出.

怎么写出？

1. In[]:= ResourceFunction["GaloisGroupProperties"][MinimalPolynomial[Sqrt[17+Sqrt[17]],x],x]
2. Out[]= CyclicGroup[4]

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$\sqrt{\sqrt{17}+17}$

1. In[]:= ResourceFunction["GaloisGroupProperties"][MinimalPolynomial[Sqrt[26+Sqrt[26]],x],x]
2. Out[]= CyclicGroup[4]

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$\sqrt{\sqrt{26}+26}$

1. In[]:= ResourceFunction["GaloisGroupProperties"][MinimalPolynomial[Sqrt[37+Sqrt[37]],x],x]
2. Out[]= CyclicGroup[4]

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$\sqrt{\sqrt{37}+37}$

1. In[]:= ResourceFunction["GaloisGroupProperties"][MinimalPolynomial[Sqrt[10+Sqrt[2]],x],x]
2. Out[]= CyclicGroup[4]

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$\sqrt{\sqrt{2}+10}$

1. In[]:= ResourceFunction["GaloisGroupProperties"][MinimalPolynomial[Sqrt[65+Sqrt[65]],x],x]
2. Out[]= CyclicGroup[4]

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$\sqrt{\sqrt{82}+82}$

hbghlyj

这帖：     $$\tan{2\pi/13}+4\sin{6\pi/13}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}.$$

1. In[]:= MinimalPolynomial[Sqrt[13+2Sqrt[13]],x]
2. Out[]= 117-26 x^2+x^4

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在$\Bbb Q[e^{i\pi/13}]$上分解：

1. In[]:= Factor[117-26 x^2+x^4,Extension->(-1)^(1/13)]
2. Out[]= -((11-4 (-1)^(2/13)+4 (-1)^(5/13)-4 (-1)^(6/13)+4 (-1)^(7/13)-4 (-1)^(8/13)+4 (-1)^(11/13)-x^2) (-15-4 (-1)^(2/13)+4 (-1)^(5/13)-4 (-1)^(6/13)+4 (-1)^(7/13)-4 (-1)^(8/13)+4 (-1)^(11/13)+x^2))

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$\sqrt{13+2\sqrt{13}}=\sqrt{4 (-1)^{2/13}+4 (-1)^{5/13}-4 (-1)^{6/13}+4 (-1)^{7/13}-4 (-1)^{8/13}+4 (-1)^{11/13}-15}$
在$\Bbb Q[e^{i\pi/26}]$上分解：

1. In[]:= Factor[117-26 x^2+x^4,Extension->(-1)^(1/26)]
2. Out[]= (-I-2 (-1)^(1/26)+2 (-1)^(3/26)-2 (-1)^(5/26)-2 (-1)^(9/26)+2 (-1)^(15/26)+2 (-1)^(19/26)-x) (I+2 (-1)^(1/26)-2 (-1)^(3/26)-2 (-1)^(7/26)+2 (-1)^(9/26)-2 (-1)^(11/26)+2 (-1)^(21/26)-x) (-I-2 (-1)^(1/26)+2 (-1)^(3/26)-2 (-1)^(5/26)-2 (-1)^(9/26)+2 (-1)^(15/26)+2 (-1)^(19/26)+x) (I+2 (-1)^(1/26)-2 (-1)^(3/26)-2 (-1)^(7/26)+2 (-1)^(9/26)-2 (-1)^(11/26)+2 (-1)^(21/26)+x)

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\[\sqrt{13+2\sqrt{13}}=i+2(-1)^{1/26}-2 (-1)^{3/26}+2 (-1)^{5/26}+2 (-1)^{9/26}-2 (-1)^{15/26}-2 (-1)^{19/26}\]
取实部，
$$\sqrt{13+2\sqrt{13}}=2 \sin \left(\frac{\pi }{13}\right)+2 \sin \left(\frac{2 \pi }{13}\right)+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{13}\right)+2 \cos \left(\frac{\pi }{26}\right)-2 \cos \left(\frac{3 \pi }{26}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{26}\right)$$

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类似地，Factor[272-34 x^2+x^4,Extension->(-1)^(1/68)]
$$\sqrt{\sqrt{17}+17}=(-1)^{1/68} \left(1+(-1)^{1/34}+(-1)^{3/34}+(-1)^{2/17}-(-1)^{5/34}-(-1)^{3/17}+(-1)^{4/17}-(-1)^{5/17}+(-1)^{11/34}+(-1)^{6/17}-(-1)^{13/34}-(-1)^{15/34}+(-1)^{8/17}-(-1)^{19/34}+2 (-1)^{10/17}-2 (-1)^{11/17}+(-1)^{12/17}-(-1)^{13/17}+2 (-1)^{14/17}-2 (-1)^{15/17}-(-1)^{31/34}\right)$$
取实部，
\[\sqrt{\sqrt{17}+17}=\frac{\sqrt2}{2}+\sin \left(\frac{\pi }{68}\right)-\sin \left(\frac{3 \pi }{68}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi }{68}\right)-3 \sin \left(\frac{7 \pi }{68}\right)+\sin \left(\frac{9 \pi }{68}\right)+3 \sin \left(\frac{11 \pi }{68}\right)-\sin \left(\frac{13 \pi }{68}\right)-\sin \left(\frac{15 \pi }{68}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{68}\right)+\cos \left(\frac{3 \pi }{68}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi }{68}\right)+3 \cos \left(\frac{7 \pi }{68}\right)+\cos \left(\frac{9 \pi }{68}\right)-3 \cos \left(\frac{11 \pi }{68}\right)-\cos \left(\frac{13 \pi }{68}\right)+\cos \left(\frac{15 \pi }{68}\right)\]

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$\sqrt{26+\sqrt{26}}$属于$\Bbb Q[e^{i\pi/n}]$的最小$n$是26×4
Factor[MinimalPolynomial[Sqrt[26 + Sqrt[26]], x], Extension -> (-1)^(1/26/4)]
$$\sqrt{26+\sqrt{26}}=\sqrt[104]{-1} \left((1-2 i)-\sqrt[52]{-1}-\sqrt[26]{-1}+(-1)^{3/52}-\sqrt[13]{-1}+(-1)^{3/26}+(-1)^{7/52}+(-1)^{2/13}-(-1)^{5/26}-(-1)^{3/13}+\sqrt[4]{-1}+2 (-1)^{7/26}+(-1)^{15/52}+2 (-1)^{4/13}-(-1)^{17/52}-(-1)^{9/26}-(-1)^{21/52}+(-1)^{11/26}-(-1)^{23/52}+(-1)^{6/13}+(-1)^{25/52}+2 (-1)^{15/26}-(-1)^{31/52}+(-1)^{8/13}-(-1)^{35/52}-2 (-1)^{9/13}-(-1)^{37/52}+(-1)^{10/13}-(-1)^{21/26}-2 (-1)^{11/13}+(-1)^{23/26}\right)$$

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类似地，Factor[98-20 x^2+x^4,Extension->(-1)^(1/8)]
\[\sqrt{\sqrt{2}+10}=(-1)^{1/8}+2 (-1)^{3/8}-2 (-1)^{5/8}-(-1)^{7/8}\]
取实部，
\[\sqrt{\sqrt{2}+10}=2 \left(2 \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\]

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找出$\sqrt{n+\sqrt{2}}$的Galois group是$C_4$的$n$：

1. In[]:= Select[Range[100],Function[n,IntegerQ[Sqrt[2(n^2-2)]]]]
2. Out[]= {2,10,58}

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