Stone-Weierstrass的应用

hbghlyj

Functional Analysis I 2017: Problem Sheet 3 Hilary Ann Priestley
14. Let $f$ be a real-valued continuous function on $[0,1]$ such that
$$∫^1_0f(x)e^{nx}\rmd x=0\text{ for }n = 0, 1, 2, \dots$$
Prove that $f ≡ 0$.
第一种证明是换元$\int_0^1 f(x)e^{nx}\, \mathrm dx=\int_1^e f(\ln y)y^{n-1}\,\mathrm dy$，再用多项式在$C[0,1]$稠密
math.stackexchange.com/questions/772095
math.stackexchange.com/questions/1102388
math.stackexchange.com/questions/1355632
math.stackexchange.com/questions/91149
第二种证明是用“$e^{nx}$生成的代数$\{P(e^{nx}):P为多项式\}$在$C[0,1]$稠密”

hbghlyj

在math.stackexchange.com/questions/3486447提出了问题：把$e^{nx}$改为$e^{-nx}$还成立吗？
\[∫^1_0f(x)e^{-nx}\rmd x=0\text{ for }n = 0, 1, 2, \dots\]
改为$e^{-2nx}$还成立吗？

hbghlyj

好像与math.stackexchange.com/questions/4348499/有关

abababa

hbghlyj 发表于 2023-9-3 10:29
在https://math.stackexchange.com/questions/3486447提出了问题：把$e^{nx}$改为$e^{-n}$还成立吗？
\[∫^ ...

这两个肯定成立吧，因为$e^{-n},e^{-2n}$都是常数，能移到积分号外面，然后就是$\int_{0}^{1}f(x)dx=0$，根据$f(x)$连续，用反证法就能证明$f(x)$必定恒为零。

是不是问的不是上面那种，而是$e^{-nx},e^{-2nx}$？这样的也都成立，因为对于偶数的，它还是一个子代数，仍然存在$P_n(\varphi)$一致收敛到$f(x)$，其中$\varphi(x)=e^{-nx},e^{-2nx}$，且$P_n$是$\varphi$的$n$次多项式。然后就得到$\int_{0}^{1}[f(x)]^2dx\leftarrow\int_{0}^{1}f(x)P_n(\varphi)dx=0$，根据连续性还是得到$f(x)\equiv0$。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-4 15:08
是不是问的不是上面那种，而是$e^{-nx},e^{-2nx}$？

是的，我少打了$x$。已改 :P

hbghlyj

SL_MathGuy 发表于 2019-12-24 16:13
But, {$P_{2n+1}(e^{t})|n=0,1,2,3,...$} is not an algebra since it's not closed under multiplication.

虽然奇数次多项式不构成子代数，但也能得到$f(x)=0$吧？

abababa

hbghlyj 发表于 2023-9-4 20:02
虽然奇数次多项式不构成子代数，但也能得到$f(x)=0$吧？

感觉奇数次的不行，还得对f做某些限制才行。

hbghlyj

abababa 发表于 2023-9-4 20:42
感觉奇数次的不行，还得对f做某些限制才行。

$∫^1_0f(t)e^{(2n+1)t}dt=0$ for all $n$
$\implies∫^1_0f(t)e^te^{2nt}dt=0$ for all $n$
$\implies f(t)e^t=0$
$\implies f=0$