spectral radius收敛性

hbghlyj

Theorem 8.5.上方有一段话：

Indeed, one can show that ‖T^j‖^1/j converges as j → ∞

没有给出证明？哪里有证明呢

Czhang271828

结果就是谱半径 $r(T)$.

一方面, 任意 $r(T)\leq \|T\|$, 从而
\[
r(T)=\sqrt[n]{r(T^n)}\leq \|T^n\|^{1/n}.
\]
因此 $r(T)\leq \lim\inf_{n\to \infty} \|T^n\|^{1/n}$.

另一方面, 对任意 $|z|>r(T)$ 总有 Laurent 展开
\[
(z1-T)^{-1}=\sum_{n\geq 0} z^{-n-1}T^n.
\]
上式在无穷远处收敛, 故有
\[
\limsup_{n\to\infty}\|z^{-n-1}T^n\|\leq 1.
\]
结合 $|z|>r(T)$ 可知 $r(T)\geq \limsup_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$.

综上, $\|T^n\|^{1/n}\to r(T)$.