一个圆锥曲线中蝴蝶定理为构型的题目

snowblink

如图，想请问这道题背景如何用极点极线解释

kuing

命题：给定圆锥曲线 Γ，定点 P、Q，过 P 的动直线与 Γ 交于 A、B，直线 QA、QB 交 Γ 于另外两点 M、N，直线 MN 与 PQ 交于 R，则 R 为定点。

极点极线解释：
如图，设 Q 的极线为 `l_Q`，则 AB 与 MN 的交点 E 在 `l_Q` 上，设 `l_Q` 与 PQ 交于 S，与 AM 交于 T，则 Q、A、T、M 调和，则 EQ、EA、ET、EM 与 RS 的四交点 Q、P、S、R 调和，因此当 P、Q 为定点时，S 是定点，所以 R 也是定点。

回到原题，AM、BN 斜率都是 2，可以看成上述命题的 Q 为无穷远点且 `y_Q:x_Q\to2`，那么：
极线 `l_Q` 就是 y=2x 的共轭直径 y=-x/8；
直线 PQ 就是过 P(1,1) 且斜率为 2 的直线 y=2x-1，
联立 y=-x/8 与 y=2x-1 得交点 S(8/17,-1/17)，
而 Q 无穷远则 S 为 PR 中点，所以 R(-1/17,-19/17)，这就是最终所求的定点。