根式等于$\sqrt[4]3$

hbghlyj

$\xymatrix { &&ℚ \\ &ℚ(\sqrt3)\ar@{<-}[ur]&ℚ(\sqrt{-1})\ar@{<-}[u ]& ℚ(\sqrt{-3})\ar@{<-}[ul]\\ℚ(\sqrt[4]3)\ar@{<-}[ur]&ℚ(\sqrt[4]3i)\ar@{<-}[u ]&ℚ(\sqrt3,i)\ar@{<-}[u ]\ar@{<-}[ul]\ar@{<-}[ur]&ℚ((-12)^{\frac14})\ar@{<-}[u ]&ℚ((-12)^{\frac34})\ar@{<-}[ul]\\&&ℚ(\sqrt[4]3,i)\ar@{<-}[ul]\ar@{<-}[ur]\ar@{<-}[u ]\ar@{<-}[ull]\ar@{<-}[urr]}
\xymatrix { &&D_8 \\ &C_2^2\ar@{->}[ur]&C_4\ar@{->}[u ]& C_2^2\ar@{->}[ul]\\C_2\ar@{->}[ur]&C_2\ar@{->}[u ]&C_2\ar@{->}[u ]\ar@{->}[ul]\ar@{->}[ur]&C_2\ar@{->}[u ]&C_2\ar@{->}[ul]\\&&C_1\ar@{->}[ul]\ar@{->}[ur]\ar@{->}[u ]\ar@{->}[ull]\ar@{->}[urr]}$

1. Factor[x^4-3,Extension->(-12)^(1/4)]

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$\sqrt[4]3$在$\Bbb Q(\sqrt[4]{-12})$上的极小多项式为$$x^2-\sqrt[4]{-12}x+\sqrt{-3}=0$$
解二次方程得，
$$\sqrt[4]3=\frac{1}{2} \left(\sqrt[4]{-12}+\sqrt{\sqrt{-12}-4\sqrt{-3}}\right)\tag1\label1$$
wolframalpha.com/input?i=%281%2F2%29+%28Sqrt%5BSqrt%5B-12%5D+-+4 ... %29%5E%281%2F4%29%29
\eqref{1}左边作了2个二次扩域$ℚ\toℚ(\sqrt3)\toℚ(\sqrt[4]3)$
\eqref{1}右边作了3个二次扩域$ℚ\toℚ(\sqrt{-3})\toℚ(\sqrt[4]{-12})\toℚ(\sqrt[4]3,i)$

例子\eqref{1}本身很简单，但我试图用\eqref{1}来理解这个根式，它们有相同的结构：都是将一个多项式$f$的根写成不同的根式，且$\operatorname{Gal}_ℚ(f)=D_4$.

hbghlyj

\eqref{1}右边的2重二次根式$\sqrt{\sqrt{-12}-4\sqrt{-3}}$可以化简$=\sqrt{-\sqrt{-12}}$ wolframalpha.com/input?i=Sqrt%5BSqrt%5B-12%5D+-+4+Sqrt%5B-3%5D%5 ... %5B-Sqrt%5B-12%5D%5D
$$\sqrt[4]3=\frac{1}{2} \left(\sqrt{\sqrt{-12}}+\sqrt{-\sqrt{-12}}\right)\tag2\label2$$
\eqref{1}比较特殊：2重二次根式$\sqrt[4]{-12}$的平方$=\sqrt{-12}$只有1重二次根式，所以$\sqrt{\sqrt{-12}-4\sqrt{-3}}$只有2重二次根式。
对于比较一般的2重二次根式$\alpha$，$\alpha^2$仍是2重根式，所以$\sqrt{\alpha^2-4\sqrt{-3}}$应该是3重的，如这个根式的右边有3重二次根式。

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和\eqref{1}结构相同的这个根式能否写成类似于\eqref{2}的形式？
\[\frac{\sqrt{29}}2+\sqrt{7+\sqrt{29}\over2}=\frac{(3+\sqrt5)\sqrt{38-14 \sqrt{5}}}{8}+\sqrt{\left(\frac{(3+\sqrt5)\sqrt{38-14 \sqrt{5}}-4}{8}\right)^2-\sqrt{5}+\sqrt{38-14 \sqrt{5}}+7}\]
尝试写成类似于\eqref{2}的形式，失败了…

FullSimplify右边的3重根式：
$$\sqrt{\left(\frac{(3+\sqrt5)\sqrt{38-14 \sqrt{5}}-4}{8}\right)^2-\sqrt{5}+\sqrt{38-14 \sqrt{5}}+7}=\sqrt{\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{29 \left(7-2 \sqrt{5}\right)}+18}{2}}$$
仍是3重二次根式