截面面积最值的计算

力工

已知正四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的底面边长为1，截面$AEFG$分别与侧棱相交，且$\angle EAB=\alpha ,\angle GAD=\beta ,\alpha +\beta =45\du $，求截面$AEFG$面积的最大值。

从题目本身来看，思路不难，用向量法也可以。$tan\alpha=a,tan\beta=b$,这样$ab+a+b=1$,
直接用余弦定理求出$ cos\angle EAG=\frac{ab}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}$ ,面积$ S=\sqrt{(1+a^2+b^2)}$，但怎么就是算不出呢？请求指导。
  还觉得用射影法应该很好，但能求出截面与底面夹角的最大值吗？也麻烦指点下

kuing

用向量也不错。

按你设的 `\tan\alpha=a`, `\tan\beta=b`，由于底面边长为 `1`，那就是 `BE=a`, `DG=b`，于是以 `A` 为原点建系且使 `B(1,0,0)`, `D(0,1,0)`，则 `E(1,0,a)`, `G(0,1,b)`。

设截面的法向量为 `\bm n=(x,y,z)`，则 `(x,y,z)\cdot(1,0,a)=0` 且 `(x,y,z)\cdot(0,1,b)=0`，即 `x+az=0` 且 `y+bz=0`，于是可以取得一个法向量为 `\bm n=(-a,-b,1)`。

设截面与底面的夹角为 `\theta`，显然它也等于 `\bm n` 与 `z` 轴的夹角，而 `\bm n` 的 `z` 坐标为 `1`，于是
\[\cos\theta=\frac1{\abs{\bm n}}\riff S_{AEFG}=\frac1{\cos\theta}=\abs{\bm n}=\sqrt{a^2+b^2+1},\]
条件变为 `ab+a+b=1` 即 `(a+1)(b+1)=2` 那就是反比例函数的一部分，想一下图像便知 `a^2+b^2` 的最大值只能在端点取得啊，用不等式来说就是
\[a^2+b^2\leqslant(a+b)^2\leqslant1,\]
当 `a=0`, `b=1` 取等，所以 `S_{\max}=\sqrt2`。

原题会不会是求最小值？那样的话
\[2=(a+1)(b+1)\leqslant\left(\frac{a+b}2+1\right)^2\leqslant\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}+1\right)^2,\]
可得 `a^2+b^2\geqslant6-4\sqrt2`，即 `S_{\min}=\sqrt{7-4\sqrt2}`。

综上，`S\in\left[\sqrt{7-4\sqrt2},\sqrt2\right]`。