求 $\dfrac x{y^3+4}+\dfrac y{z^3+4}+...$ 的最小值。

业余的业余

已知 $x,y,z,w\ge0$, 且 $x+y+z+w=4$.

求 $\dfrac x{y^3+4}+\dfrac y{z^3+4}+\dfrac z{w^3+4}+\dfrac w{x^3+4}$ 的最小值。

业余的业余

如果设 $x\ge y\ge z\ge w$, 那么貌似在 $x=y=2, z=w=0$ 时取得最小值 $\dfrac34$.

kuing

这让我想起了这题：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3582
不知道是不是也可以类似切出来，先睡了😪……

Aluminiumor

根据 kuing 的提示
$$\frac{1}{x^3+4}-\left(\frac14-\frac{x}{12}\right)=\frac{x(x+1)(x-2)^2}{12(x^3+4)}\geq0$$
$$\sum\frac{x}{y^3+4}\geq\frac{\sum x}{4}-\frac{1}{12}(xy+yz+zw+wx)$$
而
$$(x+y+z+w)^2-4(xy+yz+zw+wx)=(x-y+z-w)^2\geq0$$
故
$$\sum\frac{x}{y^3+4}\geq\frac23$$
易知可取等。

业余的业余

学习，收藏。需要好好琢磨

另 @kuing :

有个不知道是我的浏览器还是别的问题。我登陆本网站后，进入本贴，点击3#的链接，在新的tab中打开链接。这种情况下，网站不知道我已经登陆，但等我想进行某个操作要登陆时，是无法登陆的。而如果我登陆后在新开的tab中进入 kuing.infinityfreeapp.com，系统会直到我已经登陆。

不知道有没有说清楚😀

kuing

业余的业余 发表于 2024-11-25 08:09
有个不知道是我的浏览器还是别的问题。我登陆本网站后，进入本贴，点击3#的链接，在新的tab中打开链接。这种情况下，网站不知道我已经登陆，但等我想进行某个操作要登陆时，是无法登陆的。而如果我登陆后在新开的tab中进入 kuing.infinityfreeapp.com，系统会直到我已经登陆。

我这里没问题，有没有换别的浏览器试试？