证明：数列极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{q^n}=0.$

isee

源自知乎提问区

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一般化， $q>1$ ， $\alpha>0$ ，证明：数列极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{q^n}=0.$

由二项式定理，设 $q^n=\big(1+t\big)^n=1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2+\cdots$ ，又 $n-1>\frac{n}2$ 知 \[q^n>\frac{n(n-1)}{2}t^2>\frac{n^2}{4}(q-1)^2,\] 于是 \[0<\frac{n}{q^n}<\frac{n}{\frac{n^2}{4}(q-1)^2}\to 0\,(n\to\infty),\] 由夹逼法则就知道 \begin{equation*}
{\color{blue}{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{q^n}=0}},\tag{01}
\end{equation*} 于是 $\alpha>0$ ， $q^\frac1\alpha>1$，利用 $(01)$ 式就证明了\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^\alpha}{q^n}=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\left(q^{1/\alpha}\right)^n}\right)^\alpha=0\]

以上为常见的从“原点”起步的“基础”证法.

hbghlyj

使用L'Hopital's Rule\begin{gathered}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1}=0 \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \ln n}{\ln n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n \ln n}}{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}=0 \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^n}{n^p}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^n}{p n^{p-1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^n}{p(p-1) n^{p-2}}=\ldots=\infty\end{gathered}因此$\ln \ln n \ll \ln n \ll n$, 和 $n^p \ll e^n$.

hbghlyj

使用Stirling's approximation $n!\approx \sqrt{2 \pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ 得知 $n!$ 的增长速率介于 $e^n$ 与 $n^n$ 间，
就能写出一个增长速率的不等式链
$$\ln \ln n \ll \ln n \ll \underset{0<p<1}{n^p} \ll n \ll n \ln n \ll \underset{p>1}{n^p} \ll e^n \ll n!\ll n^n \ll e^{n^2}$$
growthrates.pdf

isee

hbghlyj 发表于 2025-1-9 17:45
使用L'Hopital's Rule\begin{gathered}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{x \rightarro ...

数列极限，严格来说不可以直接用洛必达法则

hbghlyj

isee 发表于 2025-1-9 10:16
数列极限，严格来说不可以直接用洛必达法则

也可以用Stolz–Cesàro theorem
由于$e^n-e^{n-1}=e^n(1-e^{-1})$与$n^p-(n-1)^p=pn^{p-1}+\dots$
$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^n}{n^p}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^n(1-e^{-1})}{p(n-1)^p+\dots}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^n(1-e^{-1})^2}{p(p-1) n^{p-2}+\dots}=\dots=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^n(1-e^{-1})^p}{p!n^0}=\infty$$

hbghlyj

isee 发表于 2024-10-2 01:53
应用斯托尔茨 ( O.Stolz ) 定理：

设数列 $\{y_n\}$ 单调递增且 $\lim\limits_{n\to \infty} y_n=+\infty,$ 若 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ 存在（有限或 $\pm \infty$ ），则 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac {x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac {x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}.$